VECTEUR RÉSULTANT: CALCUL, EXEMPLES, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Le vecteur résultant est celui obtenu par une opération avec des vecteurs dont le résultat est également un vecteur. Normalement, cette opération est la somme de deux vecteurs ou plus, au moyen de laquelle on obtient un vecteur dont l'effet est équivalent.

De cette manière, des vecteurs tels que la vitesse, l'accélération ou la force résultantes sont obtenus. Par exemple, lorsque plusieurs forces F ₁, F ₂, F ₃,… agissent sur un corps. la somme vectorielle de toutes ces forces est égale à la force nette (la résultante), qui est mathématiquement exprimée comme suit:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R ou F _N

Figure 1. Le poids de la neige est réparti sur le toit et son action peut être remplacée par une seule force résultante appliquée à l'endroit approprié. Source: Pixabay.

Le vecteur résultant, qu'il s'agisse de forces ou de toute autre grandeur de vecteur, est trouvé en appliquant les règles d'addition vectorielle. Comme les vecteurs ont une direction et un sens ainsi qu'une valeur numérique, il ne suffit pas d'ajouter les modules pour avoir le vecteur résultant.

Ceci n'est vrai que dans le cas où les vecteurs impliqués sont dans le même sens (voir exemples). Sinon, il est nécessaire d'utiliser des méthodes de somme vectorielle qui, selon le cas, peuvent être géométriques ou analytiques.

Exemples

Les méthodes géométriques pour trouver le vecteur résultant sont la méthode de cheminement et la méthode du parallélogramme.

Comme pour les méthodes analytiques, il y a la méthode des composants, par laquelle le vecteur résultant de tout système de vecteurs peut être trouvé, tant que nous avons ses composantes cartésiennes.

Méthodes géométriques pour ajouter deux vecteurs

Supposons les vecteurs u et v (nous les notons en gras pour les distinguer des scalaires). Dans la figure 2a), nous les avons situés sur l'avion. Sur la figure 2 b), il a été traduit en vecteur v de telle manière que son origine coïncide avec la fin de u. Le vecteur résultant va de l'origine du premier (u) à la pointe du dernier (v):

Figure 2. Le vecteur résultant de la somme graphique des vecteurs. Source: self made.

La figure qui en résulte dans ce cas est un triangle (un triangle est un polygone à 3 côtés). Si nous avons deux vecteurs dans le même sens, la procédure est la même: placez l'un des vecteurs après l'autre et dessinez-en un qui va de l'origine ou de la queue du premier à la pointe ou à la fin du dernier.

Notez que l'ordre dans lequel cette procédure est effectuée n'a pas d'importance, car la somme des vecteurs est commutative.

Notez également que dans ce cas le module (la longueur ou la taille) du vecteur résultant est la somme des modules des vecteurs ajoutés, contrairement au cas précédent où le module du vecteur résultant est inférieur à la somme des modules des participants.

Méthode du parallélogramme

Cette méthode est très appropriée lorsque vous devez ajouter deux vecteurs dont les points d'origine coïncident, par exemple, avec l'origine d'un système de coordonnées xy. Supposons que ce soit le cas pour nos vecteurs u et v (figure 3a):

Figure 3. Somme de deux vecteurs en utilisant la méthode du parallélogramme avec le vecteur résultant en bleu turquoise. Source: self made.

Sur la figure 3b), un parallélogramme a été construit à l'aide de lignes pointillées parallèles à u et v. Le vecteur résultant a son origine en O et sa fin au point d'intersection des lignes pointillées. Cette procédure est tout à fait équivalente à celle décrite dans la section précédente.

Exercices

-Exercice 1

Étant donné les vecteurs suivants, recherchez le vecteur résultant en utilisant la méthode de traversée.

Figure 4. Vecteurs pour trouver leur résultante en utilisant la méthode polygonale. Exercice 1. Source: propre élaboration.

Solution

La méthode de traversée est la première des méthodes vues. Rappelez-vous que la somme des vecteurs est commutative (l'ordre des addends ne modifie pas la somme), vous pouvez donc commencer par n'importe lequel des vecteurs, par exemple u (figure 5a) ou r (figure 5b):

Figure 5. Somme des vecteurs utilisant la méthode polygonale. Source: self made.

Figure obtenu est un polygone et le vecteur résultant (en bleu) est appelée R. Si vous commencez avec un autre vecteur, la forme formée peut être différente, comme indiqué dans l'exemple, mais le vecteur résultant est le même.

Exercice 2

Dans la figure suivante, nous savons que les modules des vecteurs u et v sont respectivement u = 3 unités arbitraires et v = 1,8 unités arbitraires. L'angle que u fait avec l'axe x positif est de 45 °, tandis que v fait 60 ° avec l'axe y, comme le montre la figure. Trouvez le vecteur, la magnitude et la direction résultants.

Solution

Dans la section précédente, le vecteur résultant a été trouvé en appliquant la méthode du parallélogramme (en turquoise sur la figure).

Un moyen facile de trouver analytiquement le vecteur résultant est d'exprimer les vecteurs d'addition en termes de leurs composantes cartésiennes, ce qui est une tâche facile lorsque le module et l'angle sont connus, comme les vecteurs dans cet exemple:

u _x = u. cos 45 ° = 3 x cos 45 ° = 2,12; u _y = u. sin 45 ° = 3x sin 45 ° = 2,12

v _x = v. sin 60 ° = 1,8 x sin 60 ° = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Les vecteurs u et v sont des vecteurs appartenant au plan, ayant donc chacun deux composantes. Le vecteur u est dans le premier quadrant et ses composantes sont positives, tandis que le vecteur v est dans le quatrième quadrant; sa composante x est positive, mais sa projection sur l'axe vertical tombe sur l'axe y négatif.

Calcul des composantes cartésiennes du vecteur résultant

Le vecteur résultant est trouvé en ajoutant algébriquement les composantes x et y respectives, pour obtenir leurs composantes cartésiennes:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Une fois les composantes cartésiennes spécifiées, le vecteur est parfaitement connu. Le vecteur résultant peut être exprimé avec la notation entre parenthèses:

R = <3,68; 1.22> unités arbitraires

La notation entre crochets est utilisée pour distinguer un vecteur d'un point dans le plan (ou dans l'espace). Une autre façon d'exprimer analytiquement le vecteur résultant est d'utiliser les vecteurs unitaires i et j dans le plan (i, j et k dans l'espace):

R = 3,68 i + 1,22 j unités arbitraires

Puisque les deux composantes du vecteur résultant sont positives, le vecteur R appartient au premier quadrant, qui a déjà été vu graphiquement auparavant.

Ampleur et direction du vecteur résultant

Connaissant les composantes cartésiennes, la grandeur de R est calculée par le théorème de Pythagore, puisque le vecteur résultant R, avec ses composantes R _x et R _et forme un triangle rectangle:

Ampleur ou module: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Direction q en prenant comme référence l'axe des x positif: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º

Références

1. Ajout de vecteurs et de règles. Récupéré de: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Série: Physique pour les sciences et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique 31-68.
3. Physique. Module 8: Vecteurs. Récupéré de: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mécanique pour les ingénieurs. Statique 6e édition. Société d'édition continentale. 15-53.
5. Calculatrice d'addition de vecteur. Récupéré de: www.1728.org