Le théorème de Bernoulli, qui décrit le comportement d'un fluide en mouvement, a été énoncé par le mathématique et physique Daniel Bernoulli dans son ouvrage Hydrodynamics. Selon le principe, un fluide idéal (sans frottement ni viscosité) qui circule dans un conduit fermé, aura une énergie constante sur son trajet.
Le théorème peut être déduit du principe de conservation de l'énergie et même de la deuxième loi du mouvement de Newton. De plus, le principe de Bernoulli établit également qu'une augmentation de la vitesse d'un fluide implique une diminution de la pression à laquelle il est soumis, une diminution de son énergie potentielle, ou les deux en même temps.
Daniel Bernoulli
Le théorème a de nombreuses applications différentes, à la fois dans le monde de la science et dans la vie quotidienne des gens.
Ses conséquences sont présentes dans la force de portance des avions, dans les cheminées des maisons et des industries, dans les conduites d'eau, entre autres.
L'équation de Bernoulli
Bien que Bernoulli soit celui qui a déduit que la pression diminue lorsque la vitesse d'écoulement augmente, la vérité est que c'est Leonhard Euler qui a en fait développé l'équation de Bernoulli sous la forme sous laquelle elle est connue aujourd'hui.
En tout cas, l'équation de Bernoulli, qui n'est rien de plus que l'expression mathématique de son théorème, est la suivante:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constante
Dans cette expression, v est la vitesse du fluide à travers la section considérée, ƿ est la densité du fluide, P est la pression du fluide, g est la valeur de l'accélération de la pesanteur, et z est la hauteur mesurée dans la direction de gravité.
Il est implicite dans l'équation de Bernoulli que l'énergie d'un fluide se compose de trois composants:
- Une composante cinétique, qui est celle qui résulte de la vitesse à laquelle le fluide se déplace.
- Une composante potentielle ou gravitationnelle, qui est due à la hauteur à laquelle se trouve le fluide.
- une énergie de pression, qui est celle que possède le fluide du fait de la pression à laquelle il est soumis.
D'autre part, l'équation de Bernoulli peut également être exprimée comme ceci:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Cette dernière expression est très pratique pour analyser les changements qu'un fluide subit lorsque l'un des éléments qui composent l'équation change.
Forme simplifiée
À certaines occasions, le changement du terme ρgz de l'équation de Bernoulli est minime par rapport à celui subi par les autres termes, il peut donc être négligé. Par exemple, cela se produit dans les courants subis par un avion en vol.
À ces occasions, l'équation de Bernoulli s'exprime comme suit:
P + q = P 0
Dans cette expression, q est la pression dynamique et équivaut à v 2 ∙ ƿ / 2, et P 0 est ce qu'on appelle la pression totale et est la somme de la pression statique P et de la pression dynamique q.
Applications
Le théorème de Bernoulli a des applications nombreuses et diverses dans des domaines aussi divers que la science, l'ingénierie, le sport, etc.
Une application intéressante se trouve dans la conception de cheminées. Les cheminées sont construites en hauteur afin d'obtenir une plus grande différence de pression entre la base et la sortie de cheminée, grâce à laquelle il est plus facile d'extraire les gaz de combustion.
Bien entendu, l'équation de Bernoulli s'applique également à l'étude du mouvement des écoulements liquides dans les tuyaux. Il résulte de l'équation qu'une réduction de la section transversale de la conduite, pour augmenter la vitesse du fluide qui la traverse, implique également une diminution de la pression.
L'équation de Bernoulli est également utilisée dans l'aviation et dans les véhicules de Formule 1. Dans le cas de l'aviation, l'effet Bernoulli est à l'origine de la portance des avions.
Les ailes des aéronefs sont conçues dans le but d'obtenir une plus grande circulation d'air au sommet de l'aile.
Ainsi, dans la partie supérieure de l'aile, la vitesse de l'air est élevée et, par conséquent, la pression est plus faible. Cette différence de pression produit une force verticale vers le haut (force de portance) qui permet à l'aéronef de rester en l'air. Un effet similaire est obtenu sur les ailerons des voitures de Formule 1.
Exercice résolu
Un courant d'eau s'écoule à 5,18 m / s dans un tuyau d'une section de 4,2 cm 2. L'eau descend d'une hauteur de 9,66 m à un niveau inférieur avec une hauteur d'élévation nulle, tandis que la section transversale du tube augmente à 7,6 cm 2.
a) Calculez la vitesse du courant d'eau au niveau inférieur.
b) Déterminer la pression au niveau inférieur sachant que la pression au niveau supérieur est de 152 000 Pa.
Solution
a) Étant donné que le flux doit être conservé, il est vrai que:
Q niveau supérieur = Q niveau inférieur
v 1. S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
En résolvant pour, on obtient que:
v 2 = 2,86 m / s
b) En appliquant le théorème de Bernoulli entre les deux niveaux, et en tenant compte du fait que la densité de l'eau est de 1000 kg / m 3, on obtient que:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
En résolvant P 2, nous obtenons:
P 2 = 257926,4 Pa
Références
- Le principe de Bernoulli. (nd). Sur Wikipedia. Récupéré le 12 mai 2018 sur es.wikipedia.org.
- Principe de Bernoulli. (nd). Dans Wikipedia. Récupéré le 12 mai 2018 sur en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Une introduction à la dynamique des fluides. La presse de l'Universite de Cambridge.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6e éd.). La presse de l'Universite de Cambridge.
- Mott, Robert (1996). Applied Fluid Mechanics (4e éd.). Mexique: Pearson Education.