ONDES UNIDIMENSIONNELLES: EXPRESSION MATHÉMATIQUE ET EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

Les ondes unidimensionnelles sont celles qui se propagent dans une seule direction, que la vibration se produise ou non dans la même direction de propagation. Un bon exemple de ceux-ci est la vague qui traverse une corde tendue comme celle d'une guitare.

Dans une onde plane transversale, les particules vibrent dans une direction verticale (elles montent et descendent, voir la flèche rouge sur la figure 1), mais c'est unidimensionnel car la perturbation se déplace dans une seule direction, suivant la flèche jaune.

Figure 1: L'image représente une onde unidimensionnelle. Notez que les crêtes et les vallées forment des lignes parallèles les unes aux autres et perpendiculaires à la direction de propagation. Source: self made.

Les ondes unidimensionnelles apparaissent assez fréquemment dans la vie quotidienne. Dans la section suivante, quelques exemples d'entre eux et d'ondes qui ne sont pas unidimensionnelles sont décrits, afin d'établir clairement les différences.

Exemples d'ondes unidimensionnelles et d'ondes non unidimensionnelles

Ondes unidimensionnelles

Voici quelques exemples d'ondes unidimensionnelles qui peuvent être facilement observées:

- Une impulsion sonore qui traverse une barre droite, car il s'agit d'une perturbation qui se propage sur toute la longueur de la barre.

- Une vague qui traverse un canal d'eau, même lorsque le déplacement de la surface de l'eau n'est pas parallèle au canal.

- Les ondes qui se propagent sur une surface ou à travers un espace tridimensionnel peuvent également être unidimensionnelles, à condition que leurs fronts d'onde soient des plans parallèles entre eux et se déplacent dans une seule direction.

Ondes non unidimensionnelles

Un exemple d'onde non unidimensionnelle se trouve dans les vagues qui se forment sur une surface d'eau immobile lorsqu'une pierre tombe. C'est une onde bidimensionnelle avec un front d'onde cylindrique.

Figure 2. L'image représente un exemple de ce qu'une onde unidimensionnelle N'EST PAS. Notez que les crêtes et les vallées forment des cercles et que la direction de propagation est radiale vers l'extérieur, il s'agit alors d'une onde circulaire bidimensionnelle. Source: Pixabay.

Un autre exemple d'onde non unidimensionnelle est l'onde sonore qu'un pétard génère en explosant à une certaine hauteur. Il s'agit d'une onde tridimensionnelle avec des fronts d'onde sphériques.

Expression mathématique d'une onde unidimensionnelle

La manière la plus générale d'exprimer une onde unidimensionnelle qui se propage sans atténuation dans la direction positive de l'axe xy avec une vitesse v est, mathématiquement:

Dans cette expression, y représente la perturbation à la position x au temps t. La forme de l'onde est donnée par la fonction f. Par exemple, la fonction d'onde représentée sur la figure 1 est: y (x, t) = cos (x - vt) et l'image de l'onde correspond à l'instant t = 0.

Une onde comme celle-ci, décrite par une fonction cosinus ou sinusoïdale, est appelée onde harmonique. Bien que ce ne soit pas la seule forme d'onde qui existe, elle est de la plus haute importance, car toute autre onde peut être représentée comme une superposition ou une somme d'ondes harmoniques. C'est le théorème de Fourier bien connu, si largement utilisé pour décrire des signaux de toutes sortes.

Lorsque l'onde se déplace dans la direction négative de l'axe des x, changez simplement v en -v dans l'argument, en laissant:

La figure 3 montre l'animation d'une onde se déplaçant vers la gauche: il s'agit d'une forme appelée fonction lorentzienne et son expression mathématique est:

Dans cet exemple, la vitesse de propagation est v = 1, -une unité d'espace pour chaque unité de temps-.

Figure 3. Exemple d'une onde lorentzienne se déplaçant vers la gauche avec une vitesse v = 1. Source: Préparé par F. Zapata avec Geogebra.

Équation d'onde unidimensionnelle

L'équation d'onde est une équation dérivée partielle, dont la solution est bien entendu une onde. Il établit la relation mathématique entre la partie spatiale et la partie temporelle de celle-ci, et a la forme:

Exemple travaillé

Voici l'expression générale y (x, t) pour une onde harmonique:

a) Décrivez la signification physique des paramètres A, k, ω et θo.

b) Quelle signification les signes ± ont-ils dans l'argument cosinus?

c) Vérifier que l'expression donnée est bien la solution de l'équation d'onde de la section précédente et trouver la vitesse v de propagation.

Solution à)

Les caractéristiques de la vague se retrouvent dans les paramètres suivants:

Dérivée seconde par rapport à t: ∂ ² et / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Ces résultats sont remplacés dans l'équation d'onde:

A et le cosinus sont simplifiés, car ils apparaissent des deux côtés de l'égalité et que l'argument du cosinus est le même, donc l'expression se réduit à:

Ce qui permet d'obtenir une équation pour v en termes de ω et k:

Références

1. E-éducatif. Équation des ondes harmoniques unidimensionnelles. Récupéré de: e-ducativa.catedu.es
2. Le coin de la physique. Classes de vagues. Récupéré de: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Vagues et physique quantique. Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Edité par Douglas Figueroa. Université Simon Bolivar. Caracas, Venezuela.
4. Laboratoire de physique Mouvement des vagues. Récupéré de: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Conférence 21: L'équation d'onde unidimensionnelle: la solution de D'Alembert. Récupéré de: ubc.ca.
6. Équation de vague. Récupéré de: en.wikipedia.com