- A quoi sert le coefficient de restitution?
- Élan
- Énergie et coefficient de restitution
- Comment le coefficient de restitution est-il calculé?
- Exemple
- Solution
- Références
Le coefficient de restitution est le quotient entre la vitesse relative de recul et la vitesse relative d'approche de deux corps en collision. Lorsque les corps sont unis après la collision, ce quotient est nul. Et l'unité vaut dans le cas où la collision est parfaitement élastique.
Supposons que deux sphères solides de masse M1 et de masse M2 respectivement entrent en collision. Juste avant la collision, les sphères avaient des vitesses V1 et V2 par rapport à un certain référentiel inertiel. Juste après la collision, leur vitesse passe à V1 ' et V2'.
Figure 1. Collision de deux sphères de masses M1 et M2 et leur coefficient de restitution e. Préparé par Ricardo Pérez.
Des caractères gras ont été placés dans les vitesses pour indiquer qu'il s'agit de quantités vectorielles.
Les expériences indiquent que chaque collision remplit la relation suivante:
V1 ' - V2' = -e (V1 - V2)
Où e est un nombre réel compris entre 0 et 1, appelé coefficient de restitution de la collision. L'expression ci-dessus est interprétée comme ceci:
La vitesse relative de deux particules avant la collision est proportionnelle à la vitesse relative des deux particules après la collision, la constante de proportionnalité est (-e), où e est le coefficient de restitution de la collision.
A quoi sert le coefficient de restitution?
L'utilité de ce coefficient réside dans la connaissance du degré d'inélasticité d'une collision. Dans le cas où la collision est parfaitement élastique, le coefficient sera de 1, tandis que dans une collision complètement inélastique le coefficient sera de 0, car dans ce cas, la vitesse relative après la collision est nulle.
Inversement, si le coefficient de restitution d'une collision et les vitesses des particules avant qu'il ne soit connu, alors les vitesses après la collision peuvent être prédites.
Élan
Dans les collisions, en plus de la relation établie par le coefficient de restitution, il existe une autre relation fondamentale, qui est la conservation de l'élan.
L'impulsion p d'une particule, ou impulsion comme on l'appelle aussi, est le produit de la masse M de la particule et de sa vitesse V. Autrement dit, l'impulsion p est une quantité vectorielle.
Dans les collisions, l'impulsion linéaire P du système est la même juste avant et juste après la collision, car les forces externes sont négligeables par rapport aux forces d'interaction internes brèves mais intenses lors de la collision. Mais la conservation de l'impulsion P du système ne suffit pas à résoudre le problème général de la collision.
Dans le cas évoqué précédemment, celui des deux sphères de collision des masses M1 et M2, la conservation de l'impulsion linéaire s'écrit comme ceci:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2'.
Il n'y a aucun moyen de résoudre le problème de collision si le coefficient de restitution n'est pas connu. La conservation de la quantité de mouvement, bien que nécessaire, est insuffisante pour prédire les vitesses après une collision.
Lorsqu'un problème indique que les corps restent en mouvement ensemble après la collision, il dit implicitement que le coefficient de restitution est 0.
Figure 2. Dans les boules de billard, il y a des collisions avec un coefficient de restitution peu inférieur à 1. Source: Pixabay.
Énergie et coefficient de restitution
L'autre grandeur physique importante impliquée dans les collisions est l'énergie. Lors de collisions, il y a des échanges d'énergie cinétique, d'énergie potentielle et d'autres types d'énergie, comme l'énergie thermique.
Avant et après la collision, l'énergie potentielle d'interaction est pratiquement nulle, le bilan énergétique implique donc l'énergie cinétique des particules avant et après et une quantité Q appelée énergie dissipée.
Pour les deux sphères de masse en collision M1 et M2, le bilan énergétique avant et après la collision s'écrit comme suit:
½ M1 V1 ^ 2 + ½ M2 V2 ^ 2 = ½ M1 V1 ' ^ 2 + ½ M2 V2' ^ 2 + Q
Lorsque les forces d'interaction lors de la collision sont purement conservatives, il arrive que l'énergie cinétique totale des particules en collision soit conservée, c'est-à-dire qu'elle est la même avant et après la collision (Q = 0). Lorsque cela se produit, la collision est dite parfaitement élastique.
En cas de collisions élastiques, aucune énergie n'est dissipée. Et aussi le coefficient de restitution remplit: e = 1.
Au contraire, dans les collisions inélastiques Q ≠ 0 et 0 ≤ e <1. On sait, par exemple, que la collision des boules de billard n'est pas parfaitement élastique car le son émis lors de l'impact fait partie de l'énergie dissipée.
Pour qu'un problème de collision soit parfaitement déterminé, il est nécessaire de connaître le coefficient de restitution, ou encore la quantité d'énergie dissipée lors de la collision.
Le coefficient de restitution dépend de la nature et du type d'interaction entre les deux corps lors de la collision.
De son côté, la vitesse relative des corps avant la collision définira l'intensité de l'interaction et donc son influence sur le coefficient de restitution.
Comment le coefficient de restitution est-il calculé?
Pour illustrer le calcul du coefficient de restitution d'une collision, nous prendrons un cas simple:
Supposons la collision de deux sphères de masses M1 = 1 kg et M2 = 2 kg se déplaçant sur un rail droit sans frottement (comme sur la figure 1).
La première sphère heurte avec une vitesse initiale V1 = 1 m / s sur la seconde qui est à l'origine au repos, soit V2 = 0 m / s.
Après la collision, ils se déplacent comme ceci: le premier s'arrête (V1 '= 0 m / s) et le second se déplace vers la droite avec une vitesse V2' = 1/2 m / s.
Pour calculer le coefficient de restitution dans cette collision, nous appliquons la relation:
V1 '- V2' = -e ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2.
Exemple
Dans la collision unidimensionnelle des deux sphères de la section précédente, son coefficient de restitution a été calculé, donnant e = ½.
Puisque e ≠ 1 la collision n'est pas élastique, c'est-à-dire que l'énergie cinétique du système n'est pas conservée et qu'il y a une certaine quantité d'énergie dissipée Q (par exemple, échauffement des sphères dû à la collision).
Déterminez la valeur de l'énergie dissipée en Joules. Calculez également la fraction en pourcentage d'énergie dissipée.
Solution
L'énergie cinétique initiale de la sphère 1 est:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
tandis que celle de la sphère 2 est nulle car elle est initialement au repos.
Alors l'énergie cinétique initiale du système est Ki = ½ J.
Après la collision, seule la seconde sphère se déplace avec une vitesse V2 '= ½ m / s, donc l'énergie cinétique finale du système sera:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
Autrement dit, l'énergie dissipée lors de la collision est:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
Et la fraction d'énergie dissipée dans cette collision est calculée comme suit:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5, c'est-à-dire que 50% de l'énergie du système a été dissipée du fait de la collision inélastique dont le coefficient de restitution est de 0,5.
Références
- Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
- Figueroa, D. 2005. Série: Physique pour les sciences et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
- Knight, R. 2017. Physique pour les scientifiques et l'ingénierie: une approche stratégique. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Éd. Volume 1.
- Wikipédia. Quantité de mouvement Récupérée de: en.wikipedia.org.