PROCÉDÉ POLYTROPIQUE: CARACTÉRISTIQUES, APPLICATIONS ET EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

Un processus polytropique est un processus thermodynamique qui se produit lorsque la relation entre la pression P et le volume V donné par PV ⁿ est maintenue constante. L'exposant n est un nombre réel, généralement compris entre zéro et l'infini, mais dans certains cas, il peut être négatif.

La valeur de n est appelée indice de polytropie et il est important de noter que lors d'un processus thermodynamique polytropique, ledit indice doit conserver une valeur fixe, sinon le processus ne sera pas considéré comme polytropique.

Figure 1. Équation caractéristique d'un processus thermodynamique polytropique. Source: F. Zapata.

Caractéristiques des processus polytropiques

Certains cas caractéristiques de processus polytropiques sont:

- Le processus isotherme (à température constante T), dans lequel l'exposant est n = 1.

- Un processus isobare (à pression constante P), dans ce cas n = 0.

- Le processus isochore (à volume constant V), pour lequel n = + ∞.

- Processus adiabatiques (à entropie S constante), dans lesquels l'exposant est n = γ, où γ est la constante adiabatique. Cette constante est le quotient entre la capacité thermique à pression constante Cp divisée par la capacité thermique à volume constant Cv:

γ = Cp / Cv

- Tout autre procédé thermodynamique qui ne fait pas partie des cas précédents. mais qui rencontre PV ⁿ = ctte avec un indice polytropique réel et constant n sera également un processus polytropique.

Figure 2. Différents cas caractéristiques des processus thermodynamiques polytropiques. Source: Wikimedia Commons.

Applications

Une des applications principales de l'équation polytropique est de calculer le travail effectué par un système thermodynamique fermé, lorsqu'il passe d'un état initial à un état final de manière quasi-statique, c'est-à-dire suite à une succession d'états d'équilibre.

Travail sur des processus polytropiques pour différentes valeurs de n

Pour n ≠ 1

Le travail mécanique W effectué par un système thermodynamique fermé est calculé par l'expression:

W = ∫P.dV

Où P est la pression et V est le volume.

Comme dans le cas d'un procédé polytropique, la relation entre la pression et le volume est:

Nous avons le travail mécanique effectué lors d'un processus polytropique, qui commence dans un état initial 1 et se termine dans l'état final 2. Tout cela apparaît dans l'expression suivante:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

En substituant la valeur de la constante dans l'expression de travail, on obtient:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

Dans le cas où la substance de travail peut être modélisée comme un gaz parfait, nous avons l'équation d'état suivante:

PV = mRT

Où m est le nombre de moles du gaz parfait et R est la constante de gaz universelle.

Pour un gaz parfait qui suit un processus polytropique avec un indice de polytropie différent de l'unité et qui passe d'un état de température initiale T ₁ à un autre état de température T ₂, le travail effectué est donné par la formule suivante:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

Pour n → ∞

Selon la formule du travail obtenu dans la section précédente, nous avons que le travail d'un processus polytropique avec n = ∞ est nul, car l'expression du travail est divisée par l'infini et donc le résultat tend vers zéro.

Une autre manière d'arriver à ce résultat est de partir de la relation P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, qui peut être réécrite comme suit:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

En prenant la nième racine de chaque membre, on obtient:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

Dans le cas où n → ∞, on a (V ₂ / V1) = 1, ce qui signifie que:

V ₂ = V ₁

Autrement dit, le volume ne change pas dans un processus polytropique avec n → ∞. Par conséquent, le différentiel de volume dV dans l'intégrale du travail mécanique est de 0. Ce type de processus polytropiques est également connu sous le nom de processus isochoriques ou processus à volume constant.

Pour n = 1

Encore une fois, nous avons l'expression l'expression du travail:

W = ∫P dV

Dans le cas d'un procédé polytropique avec n = 1, la relation entre la pression et le volume est:

PV = constante = C

En résolvant P à partir de l'expression précédente et en la remplaçant, nous avons le travail effectué pour passer de l'état initial 1 à l'état final 2:

C'est-à-dire:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Comme les états initial et final sont bien déterminés, le ctte le sera aussi. C'est-à-dire:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Enfin, nous avons les expressions utiles suivantes pour trouver le travail mécanique d'un système polytropique fermé dans lequel n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Si la substance de travail est constituée de moles de gaz parfait, l'équation d'état du gaz parfait peut être appliquée: PV = mRT

Dans ce cas, puisque PV ₁ = ctte, nous avons qu'un processus polytropique avec n = 1 est un processus à température constante T (isotherme), de sorte que les expressions suivantes pour le travail peuvent être obtenues:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Figure 3. Un glaçon fondant, exemple d'un processus isotherme. Source: Pixabay.

Exemples de procédés polytropiques

- Exemple 1

Supposons un cylindre avec un piston mobile rempli d'un kilogramme d'air. Initialement, l'air occupe un volume V ₁ = 0,2 m ³ à une pression P ₁ = 400 kPa. Un processus polytropique est suivi avec n = γ = 1,4, dont l'état final a une pression P ₂ = 100 kPa. Déterminez le travail effectué par l'air sur le piston.

Solution

Lorsque l'indice de polytropie est égal à la constante adiabatique, il y a un processus dans lequel la substance de travail (air) n'échange pas de chaleur avec l'environnement et, par conséquent, l'entropie ne change pas non plus.

Pour l'air, gaz idéal diatomique, nous avons:

γ = Cp / Cv, avec Cp = (7/2) R et Cv = (5/2) R

Ensuite:

γ = 7/5 = 1,4

En utilisant l'expression du processus polytropique, le volume final de l'air peut être déterminé:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Nous avons maintenant les conditions pour appliquer la formule de travail effectué dans un procédé polytropique pour n ≠ 1 obtenu ci-dessus:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

En remplaçant les valeurs appropriées que nous avons:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Exemple 2

Supposons le même cylindre de l'exemple 1, avec un piston mobile rempli d'un kilogramme d'air. Initialement, l'air occupe un volume V1 = 0,2 m ³ à une pression P1 = 400 kPa. Mais contrairement au cas précédent, l'air se dilate de manière isotherme pour atteindre une pression finale P2 = 100 kPa. Déterminez le travail effectué par l'air sur le piston.

Solution

Comme vu précédemment, les processus isothermes sont des processus polytropiques d'indice n = 1, il est donc vrai que:

P1 V1 = P2 V2

De cette manière, le volume final peut être facilement détaché pour obtenir:

V2 = 0,8 m ³

Ensuite, en utilisant l'expression de travail obtenue précédemment pour le cas n = 1, nous avons que le travail effectué par l'air sur le piston dans ce processus est:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Thermodynamique. 7e édition. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 4. Fluides et thermodynamique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. La première loi de la thermodynamique. Récupéré de: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physique pour les scientifiques et l'ingénierie: une approche stratégique. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Principes de base de la physique. 9e éd. Cengage Learning.
7. Université de Séville. Machines thermiques. Récupéré de: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Procédé polytropique. Récupéré de: wikiwand.com.