INÉGALITÉ TRIANGULAIRE: PREUVE, EXEMPLES, EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

On parle de propriété de triangle inégal qui rencontre deux nombres réels dont la valeur absolue de leur somme est toujours inférieure ou égale à la somme de leurs valeurs absolues. Cette propriété est également connue sous le nom d'inégalité de Minkowski ou d'inégalité triangulaire.

Cette propriété des nombres est appelée inégalité triangulaire car dans les triangles, il arrive que la longueur d'un côté soit toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres, même si cette inégalité ne s'applique pas toujours dans le domaine des triangles.

Figure 1. La valeur absolue de la somme de deux nombres est toujours inférieure ou égale à la somme de leurs valeurs absolues. (Préparé par R. Pérez)

Il existe plusieurs preuves de l'inégalité triangulaire en nombres réels, mais dans ce cas nous en choisirons une en fonction des propriétés de la valeur absolue et du binôme au carré.

Théorème: Pour chaque paire de nombres a et b appartenant aux nombres réels, nous avons:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Manifestation

Nous commençons par considérer le premier membre de l'inégalité, qui sera au carré:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Éq.1)

Dans l'étape précédente, nous avons utilisé la propriété que tout nombre au carré est égal à la valeur absolue dudit nombre au carré, c'est-à-dire: -x- ^ 2 = x ^ 2. L'expansion binomiale carrée a également été utilisée.

Chaque nombre x est inférieur ou égal à sa valeur absolue. Si le nombre est positif, il est égal, mais si le nombre est négatif, il sera toujours inférieur à un nombre positif. Dans ce cas, sa propre valeur absolue, c'est-à-dire que x ≤ - x -.

Le produit (ab) est un nombre, donc il applique que (ab) ≤ - ab -. Lorsque cette propriété est appliquée à (Eq.1), nous avons:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Éq.2)

En tenant compte du fait que - ab - = - a - b - la (Eq.2) peut s'écrire comme suit:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Éq.3)

Mais puisque nous avons dit précédemment que le carré d'un nombre est égal à la valeur absolue du nombre au carré, alors l'équation 3 peut être réécrite comme suit:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Éq.4)

Dans le deuxième membre de l'inégalité, un produit remarquable est reconnu, qui lorsqu'il est appliqué conduit à:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Éq.5)

Dans l'expression précédente, il convient de noter que les valeurs à mettre au carré dans les deux membres de l'inégalité sont positives, il faut donc également s'assurer que:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Éq.6)

L'expression précédente est exactement ce que vous vouliez démontrer.

Exemples

Ensuite, nous vérifierons l'inégalité triangulaire avec plusieurs exemples.

Exemple 1

On prend la valeur a = 2 et la valeur b = 5, c'est-à-dire les deux nombres positifs et on vérifie si l'inégalité est satisfaite ou non.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

L'égalité est vérifiée, donc le théorème d'inégalité triangulaire a été satisfait.

Exemple 2

On choisit les valeurs suivantes a = 2 et b = -5, c'est-à-dire un nombre positif et l'autre négatif, on vérifie si l'inégalité est satisfaite ou non.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

L'inégalité est satisfaite, donc le théorème d'inégalité triangulaire a été vérifié.

Exemple 3

On prend la valeur a = -2 et la valeur b = 5, c'est-à-dire un nombre négatif et l'autre positif, on vérifie si l'inégalité est satisfaite ou non.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

L'inégalité est vérifiée, donc le théorème a été satisfait.

Exemple 4

Les valeurs suivantes a = -2 et b = -5 sont choisies, c'est-à-dire les deux nombres négatifs et nous vérifions si l'inégalité est satisfaite ou non.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

L'égalité est vérifiée, donc le théorème d'inégalité de Minkowski a été satisfait.

Exemple 5

On prend la valeur a = 0 et la valeur b = 5, c'est-à-dire un nombre zéro et l'autre positif, puis on vérifie si l'inégalité est satisfaite ou non.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

L'égalité est remplie, donc le théorème d'inégalité triangulaire a été vérifié.

Exemple 6

On prend la valeur a = 0 et la valeur b = -7, c'est-à-dire un nombre zéro et l'autre positif, puis on vérifie si l'inégalité est satisfaite ou non.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

L'égalité est vérifiée, donc le théorème d'inégalité triangulaire a été satisfait.

Exercices résolus

Dans les exercices suivants, représentez géométriquement l'inégalité triangulaire ou l'inégalité de Minkowski pour les nombres a et b.

Le nombre a sera représenté sous forme de segment sur l'axe X, son origine O coïncide avec le zéro de l'axe X et l'autre extrémité du segment (au point P) sera dans le sens positif (à droite) de l'axe X si a > 0, mais si a <0 ce sera vers la direction négative de l'axe X, autant d'unités que sa valeur absolue l'indique.

De même, le nombre b sera représenté comme un segment dont l'origine est sur le point P. L'autre extrême, c'est-à-dire que le point Q sera à droite de P si b est positif (b> 0) et le point Q sera -b - unités à gauche de P si b <0.

Exercice 1

Représente graphiquement l'inégalité du triangle pour a = 5 et b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, où c = a + b.

Exercice 2

Représentez graphiquement l'inégalité triangulaire pour a = 5 et b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, où c = a + b.

Exercice 3

Montrez graphiquement l'inégalité du triangle pour a = -5 et b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, où c = a + b.

Exercice 4

Construisez graphiquement l'inégalité triangulaire pour a = -5 et b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, où c = a + b.

Références

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2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Éléments d'analyse abstraite.. Département de mathématiques. Collège universitaire de Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Mathématiques et ingénierie en informatique. Institut d'informatique et de technologie. Bureau national des normes. Washington, DC 20234
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5. F Thomson Leighton (1980). Calcul. Département de mathématiques et laboratoire d'informatique et d'IA, Institut de technologie du Massachussetts.
6. Khan Academy. Théorème de l'inégalité du triangle. Récupéré de: khanacademy.org
7. Wikipédia. Inégalité triangulaire. Récupéré de: es. wikipedia.com