RÈGLE DE SARRUS: EN QUOI ELLE CONSISTE ET TYPES DE DÉTERMINANTS - VOCABULAIRE DE LA CULTURE - 2024

La règle Sarrus est utilisée pour calculer le résultat de 3 × 3 déterminants. Ceux-ci sont utilisés pour résoudre des équations linéaires et savoir si elles sont compatibles.

Les systèmes compatibles facilitent l'obtention de la solution. Ils sont également utilisés pour déterminer si les ensembles de vecteurs sont linéairement indépendants et pour former la base de l'espace vectoriel.

Ces applications sont basées sur l'inversibilité des matrices. Si une matrice est régulière, son déterminant est différent de 0. Si elle est singulière, son déterminant est égal à 0. Les déterminants ne peuvent être calculés que dans des matrices carrées.

Pour calculer des matrices de n'importe quel ordre, le théorème de Laplace peut être utilisé. Ce théorème permet de simplifier des matrices de grandes dimensions, en sommes de petits déterminants que l'on décompose de la matrice principale.

Il déclare que le déterminant d'une matrice est égal à la somme des produits de chaque ligne ou colonne, multipliée par le déterminant de sa matrice adjointe.

Cela réduit les déterminants de sorte qu'un déterminant de degré n devient n déterminants de n-1. Si l'on applique cette règle successivement, on peut obtenir des déterminants de dimension 2 (2 × 2) ou 3 (3 × 3), où son calcul est beaucoup plus facile.

Règle de Sarrus

Pierre Frédéric Sarrus était un mathématicien français du 19ème siècle. La plupart de ses traités mathématiques sont basés sur des méthodes de résolution d'équations et le calcul des variations, au sein d'équations numériques.

Dans l'un de ses traités, il a résolu l'une des énigmes les plus complexes de la mécanique. Pour résoudre les problèmes des pièces articulées, Sarrus a introduit la transformation de mouvements rectilignes alternatifs, en mouvements circulaires uniformes. Ce nouveau système est connu sous le nom de mécanisme Sarrus.

La recherche qui a fait le plus de notoriété à ce mathématicien est celle où il a introduit une nouvelle méthode de calcul des déterminants, dans l'article «Nouvelles méthodes pour la résolution des équations», qui a été publié dans le 1833. Cette manière de résoudre les équations linéaires est connue sous le nom de règle de Sarrus.

La règle de Sarrus nous permet de calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3, sans avoir besoin d'utiliser le théorème de Laplace, introduisant une méthode beaucoup plus simple et intuitive. Afin de vérifier la valeur de la règle de Sarrus, nous prenons n'importe quelle matrice de dimension 3:

Le calcul de son déterminant serait effectué en utilisant le produit de ses diagonales principales, en soustrayant le produit des diagonales inverses. Ce serait comme suit:

La règle de Sarrus nous permet d'obtenir une vision beaucoup plus facile lors du calcul des diagonales du déterminant. Il serait simplifié en ajoutant les deux premières colonnes à l'arrière de la matrice. De cette manière, on voit plus clairement quelles sont ses diagonales principales et quels sont les inverses, pour le calcul du produit.

À travers cette image, nous pouvons voir l'application de la règle de Sarrus, nous incluons les lignes 1 et 2, sous la représentation graphique de la matrice initiale. De cette façon, les diagonales principales sont les trois diagonales qui apparaissent en premier.

Les trois diagonales inversées, à leur tour, sont celles qui apparaissent en premier à l'arrière.

De cette manière, les diagonales apparaissent de manière plus visuelle, sans compliquer la résolution du déterminant, en essayant de savoir quels éléments de la matrice appartiennent à chaque diagonale.

Tel qu'il apparaît dans l'image, nous choisissons les diagonales et calculons le produit résultant de chaque fonction. Les diagonales qui apparaissent en bleu sont celles qui s'additionnent. À la somme de ceux-ci, nous soustrayons la valeur des diagonales qui apparaissent en rouge.

Pour faciliter la compression, nous pouvons utiliser un exemple numérique, au lieu d'utiliser des termes algébriques et des sous-termes.

Si nous prenons une matrice 3 × 3, par exemple:

Pour appliquer la règle de Sarrus et la résoudre de manière plus visuelle, nous devrions inclure les lignes 1 et 2, respectivement 4 et 5. Il est important de garder la ligne 1 en 4ème position et la ligne 2 en 5ème position. Car si nous les échangeons, la règle de Sarrus ne sera pas efficace.

Pour calculer le déterminant, notre matrice serait la suivante:

Pour continuer le calcul, nous multiplierons les éléments des diagonales principales. Les descendants partant de la gauche auront un signe positif; tandis que les diagonales inverses, qui partent de la droite, ont un signe négatif.

Dans cet exemple, les bleus auraient un signe positif et les rouges un signe négatif. Le calcul final de la règle de Sarrus ressemblerait à ceci:

Types de déterminants

Déterminant de la dimension 1

Si la dimension de la matrice est 1, la matrice ressemble à ceci: A = (a)

Par conséquent, son déterminant serait le suivant: det (A) = -A- = a

En résumé, le déterminant de la matrice A est égal à la valeur absolue de la matrice A, qui dans ce cas est a.

Déterminant de la dimension 2

Si on passe à des matrices de dimension 2, on obtient des matrices de type:

Où son déterminant est défini comme:

La résolution de ce déterminant est basée sur la multiplication de sa diagonale principale, en soustrayant le produit de sa diagonale inverse.

En tant que mnémonique, nous pouvons utiliser le diagramme suivant pour nous souvenir de son déterminant:

Déterminant de la dimension 3

Si la dimension de la matrice est 3, la matrice résultante serait de ce type:

Le déterminant de cette matrice serait résolu par la règle de Sarrus de cette manière:

Références

1. Jenny Olive (1998) Maths: Guide de survie d'un étudiant. La presse de l'Universite de Cambridge.
2. Richard J. Brown (2012) 30 secondes de mathématiques: les 50 théories les plus expansionnistes en mathématiques. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Une étude sur le calcul des déterminants d'une matrice 3 × 3. Édition académique Lap Lambert.
5. Anthony Nicolaides (1994) Déterminants et matrices. Passer la publication.
6. Jesse Russell (2012) Règle de Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introduction à l'algèbre linéaire. Éditorial ESIC.