SYMÉTRIE AXIALE: PROPRIÉTÉS, EXEMPLES ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La symétrie axiale se produit lorsque les points d'une figure coïncident avec les points d'une autre figure par une bissectrice droite appelée axe de symétrie. Elle est également appelée symétrie radiale, rotationnelle ou cylindrique.

Il est généralement appliqué sous forme de figures géométriques, mais il est facilement observable dans la nature, car il existe des animaux tels que des papillons, des scorpions, des coccinelles ou des humains qui présentent une symétrie axiale.

La symétrie axiale est présentée sur cette photo de la ligne d'horizon de la ville de Toronto et de son reflet dans l'eau. (Paquet source: pixabay)

Comment trouver une symétrie axiale

Pour trouver la symétrie axiale P 'd'un point P par rapport à une droite (L), les opérations géométriques suivantes sont effectuées:

1.- La perpendiculaire à la droite (L) qui passe par le point P.

2.- L'interception des deux lignes détermine un point O.

3.- La longueur du segment PO est mesurée, puis cette longueur est copiée sur la droite (PO) partant de O dans le sens de P vers O, déterminant le point P '.

4.- Le point P 'est la symétrie axiale du point P par rapport à l'axe (L), puisque la droite (L) est la bissectrice du segment PP', étant O le milieu dudit segment.

Figure 1. Deux points P et P 'sont axialement symétriques à un axe (L) si ledit axe est une bissectrice du segment PP'

Propriétés de la symétrie axiale

- La symétrie axiale est isométrique, c'est-à-dire que les distances d'une figure géométrique et sa symétrie correspondante sont conservées.

- La mesure d'un angle et son symétrique sont égaux.

- La symétrie axiale d'un point sur l'axe de symétrie est le point lui-même.

- la ligne symétrique d'une ligne parallèle à l'axe de symétrie est également une ligne parallèle audit axe.

- Une ligne sécante à l'axe de symétrie a comme ligne symétrique une autre ligne sécante qui, à son tour, coupe l'axe de symétrie au même point sur la ligne d'origine.

- L'image symétrique d'une ligne est une autre ligne qui forme un angle avec l'axe de symétrie de même mesure que celle de la ligne d'origine.

- L'image symétrique d'une ligne perpendiculaire à l'axe de symétrie est une autre ligne qui chevauche la première.

- Une ligne et sa ligne symétrique axiale forment un angle dont la bissectrice est l'axe de symétrie.

Figure 2. La symétrie axiale préserve les distances et les angles.

Exemples de symétrie axiale

La nature présente de nombreux exemples de symétrie axiale. Par exemple, vous pouvez voir la symétrie des visages, des insectes comme les papillons, le reflet sur les surfaces d'eau calmes et les miroirs ou les feuilles des plantes, entre autres.

Figure 3. Ce papillon présente une symétrie axiale presque parfaite. (Paquet source: pixabay)

Figure 4. Le visage de cette fille a une symétrie axiale. (Paquet source: pixabay)

Exercices de symétrie axiale

Exercice 1

On a le triangle des sommets A, B et C dont les coordonnées cartésiennes sont respectivement A = (2, 5), B = (1, 1) et C = (3,3). Trouvez les coordonnées cartésiennes du triangle symétriques par rapport à l'axe Y (axe des ordonnées).

Solution: Si un point P a des coordonnées (x, y) alors son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe Y) est P '= (- x, y). En d'autres termes, la valeur de son abscisse change de signe, tandis que la valeur de l'ordonnée reste la même.

Dans ce cas, le triangle symétrique aux sommets A ', B' et C 'aura les coordonnées:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) et C' = (- 3, 3) comme le montre la figure 6.

Figure 6. Si un point a des coordonnées (x, y), son symétrique par rapport à l'axe Y (axe des ordonnées) aura des coordonnées (-x, y).

Exercice 2

En vous référant au triangle ABC et à son A'B'C 'symétrique de l'exercice 1, vérifiez que les côtés correspondants du triangle d'origine et sa symétrique ont la même longueur.

Solution: Pour trouver la distance ou la longueur des côtés, nous utilisons la formule de distance euclidienne:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Par - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

La longueur du côté symétrique A'B 'correspondant est calculée ci-dessous:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (Par'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

De cette manière, on vérifie que la symétrie axiale préserve la distance entre deux points. La procédure peut être répétée pour les deux autres côtés du triangle et son symétrique pour vérifier l'invariance de longueur. Par exemple -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Exercice 3

Par rapport au triangle ABC et à son A'B'C 'symétrique de l'exercice 1, vérifiez que les angles correspondants du triangle d'origine et de son symétrique ont la même mesure angulaire.

Solution: Pour déterminer les mesures des angles BAC et B'A'C ', nous allons d'abord calculer le produit scalaire des vecteurs AB avec AC puis le produit scalaire de A'B' avec A'C '.

Rappelant que:

A = (2, 5), B = (1, 1) et C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) et C' = (- 3, 3).

Il a:

AB = <1-2, 1-5> et AC = <3-2, 3-5>

De même

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> et AC = <-3 + 2, 3-5>

Ensuite, les produits scalaires suivants sont trouvés:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

De même

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

La mesure de l'angle BAC est:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4 123⋅2 236)) = 40,6 °

De même, la mesure de l'angle B'A'C 'est:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4 123⋅2 236)) = 40,6 °

En conclusion, la symétrie axiale préserve la mesure des angles.

Exercice 4

Soit un point P de coordonnées (a, b). Trouvez les coordonnées de sa symétrie axiale P 'par rapport à la droite y = x.

Solution: Nous appellerons (a ', b') les coordonnées du point symétrique P 'par rapport à la droite y = x. Le milieu M du segment PP 'a des coordonnées ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) et est également sur la ligne y = x, donc l'égalité suivante est vraie:

a + a '= b + b'

Par contre, le segment PP 'a une pente -1 car il est perpendiculaire à la droite y = x de pente 1, donc l'égalité suivante est vraie:

b - b '= a' -a

En résolvant les deux égalités précédentes a 'et b', on conclut que:

a '= par là b' = a.

Autrement dit, étant donné un point P (a, b), sa symétrie axiale par rapport à la droite y = x est P '(b, a).

Références

1. Arce M., Blázquez S et autres. Transformations de l'avion. Récupéré de: educutmxli.files.wordpress.com
2. Calcul cc. Symétrie axiale. Récupéré de: calculo.cc
3. Superprof. Symétrie axiale. Récupéré de: superprof.es
4. Wikipédia. Symétrie axiale. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Symétrie circulaire. Récupéré de: en.wikipedia.com