NOMBRES IMAGINAIRES: PROPRIÉTÉS, APPLICATIONS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres imaginaires sont ceux qui résolvent l'équation dans laquelle l'inconnu, élevé au carré, est égal à un nombre réel négatif. L'unité imaginaire est i = √ (-1).

Dans l'équation: z ² = - a, z est un nombre imaginaire qui s'exprime comme suit:

z = √ (-a) = i√ (a)

Être un nombre réel positif. Si a = 1, alors z = i, où i est l'unité imaginaire.

Figure 1. Plan complexe montrant des nombres réels, des nombres imaginaires et des nombres complexes. Source: F. Zapata.

En général, un nombre imaginaire pur z est toujours exprimé sous la forme:

z = y⋅i

Où y est un nombre réel et i est l'unité imaginaire.

Tout comme les nombres réels sont représentés sur une ligne, appelée ligne réelle, de la même manière les nombres imaginaires sont représentés sur la ligne imaginaire.

La ligne imaginaire est toujours orthogonale (forme à 90 °) à la ligne réelle et les deux lignes définissent un plan cartésien appelé plan complexe.

Dans la figure 1, le plan complexe est montré et sur lui sont représentés des nombres réels, des nombres imaginaires et aussi des nombres complexes:

X ₁, X ₂, X ₃ sont des nombres réels

Y ₁, Y ₂, Y ₃ sont des nombres imaginaires

Z ₂ et Z ₃ sont des nombres complexes

Le nombre O est le zéro réel et c'est aussi le zéro imaginaire, donc l'origine O est le zéro complexe exprimé par:

0 + 0i

Propriétés

L'ensemble des nombres imaginaires est noté:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Et vous pouvez définir certaines opérations sur cet ensemble numérique. Un nombre imaginaire n'est pas toujours obtenu à partir de ces opérations, alors regardons-les un peu plus en détail:

Ajouter et soustraire de l'imaginaire

Les nombres imaginaires peuvent être ajoutés et soustraits les uns des autres, résultant en un nouveau nombre imaginaire. Par exemple:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produit d'imaginaire

Lorsque le produit d'un nombre imaginaire par un autre est fait, le résultat est un nombre réel. Faisons l'opération suivante pour le vérifier:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Et comme nous pouvons le voir, -6 est un nombre réel, bien qu'il ait été obtenu en multipliant deux nombres imaginaires purs.

Produit d'un nombre réel par un autre imaginaire

Si un nombre réel est multiplié par i, le résultat sera un nombre imaginaire, qui correspond à une rotation de 90 degrés dans le sens antihoraire.

Et c'est que i ² correspond à deux rotations consécutives de 90 degrés, ce qui équivaut à multiplier par -1, c'est-à-dire i ² = -1. Il peut être vu dans le diagramme suivant:

Figure 2. La multiplication par l'unité imaginaire i correspond à des rotations de 90 ° dans le sens antihoraire. Source: wikimedia commons.

Par exemple:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Autonomisation d'un imaginaire

Vous pouvez définir la potentialisation d'un nombre imaginaire en un exposant entier:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

En général, nous avons que i ⁿ = i ^ (n mod 4), où mod est le reste de la division entre n et 4.

La potentialisation des nombres entiers négatifs peut également être effectuée:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

En général, le nombre imaginaire b⋅i élevé à la puissance n est:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Quelques exemples sont les suivants:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Somme d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire

Lorsque vous ajoutez un nombre réel avec un nombre imaginaire, le résultat n'est ni réel ni imaginaire, c'est un nouveau type de nombre appelé nombre complexe.

Par exemple, si X = 3,5 et Y = 3,75i, alors le résultat est le nombre complexe:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Notez que les parties réelle et imaginaire ne peuvent pas être regroupées dans la somme, donc un nombre complexe aura toujours une partie réelle et une partie imaginaire.

Cette opération étend l'ensemble des nombres réels au plus large des nombres complexes.

Applications

Le nom des nombres imaginaires a été proposé par le mathématicien français René Descartes (1596-1650) comme une moquerie ou un désaccord avec la proposition de la même faite par le mathématicien italien du siècle Raffaelle Bombelli.

D'autres grands mathématiciens, comme Euler et Leibniz, soutiennent Descartes dans ce désaccord et qualifient les nombres imaginaires de nombres amphibies, déchirés entre l'être et le rien.

Le nom des nombres imaginaires demeure aujourd'hui, mais leur existence et leur importance sont bien réelles et palpables, puisqu'ils apparaissent naturellement dans de nombreux domaines de la physique tels que:

-La théorie de la relativité.

-En électromagnétisme.

-Mécanique quantique.

Exercices avec des nombres imaginaires

- Exercice 1

Trouvez les solutions de l'équation suivante:

z ² + 16 = 0

Solution

z ² = -16

Prenant racine carrée dans les deux membres, nous avons:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

En d'autres termes, les solutions de l'équation d'origine sont:

z = + 4i oz = -4i.

- Exercice 2

Trouvez le résultat de l'élévation de l'unité imaginaire à la puissance 5 moins la soustraction de l'unité imaginaire élevée à la puissance -5.

Solution

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Exercice 3

Trouvez le résultat de l'opération suivante:

(3i) ³ + 9i

Solution

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Exercice 4

Trouvez les solutions de l'équation quadratique suivante:

(-2x) ² + 2 = 0

Solution

L'équation est réorganisée comme suit:

(-2x) ² = -2

Ensuite, la racine carrée des deux membres est prise

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Ensuite, nous résolvons pour x pour finalement obtenir:

x = ± √2 / 2 i

Autrement dit, il existe deux solutions possibles:

x = (√2 / 2) i

Ou cet autre:

x = - (√2 / 2) i

- Exercice 5

Trouvez la valeur de Z définie par:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Solution

On sait que la racine carrée d'un nombre réel négatif est un nombre imaginaire, par exemple √ (-9) est égal à √ (9) x √ (-1) = 3i.

Par contre, √ (-4) est égal à √ (4) x √ (-1) = 2i.

L'équation d'origine peut donc être remplacée par:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Exercice 6

Trouvez la valeur de Z résultant de la division suivante de deux nombres complexes:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Solution

Le numérateur de l'expression peut être factorisé à l'aide de la propriété suivante:

Ensuite:

Z = / (3 + i)

L'expression résultante est simplifiée ci-dessous, laissant

Z = (3 - i)

Références

1. Earl, R. Nombres complexes. Récupéré de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1ère. Diversifié. Éditions CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Sélection de sujets mathématiques. Publications de Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Wikipédia. Nombre imaginaire. Récupéré de: en.wikipedia.org