MATRICE INVERSE: CALCUL ET EXERCICE RÉSOLU - MATEMATIQUES - 2025

La matrice inverse d'une matrice donnée est la matrice qui multipliée par l'original donne la matrice d'identité. La matrice inverse est utile pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, d'où l'importance de savoir la calculer.

Les matrices sont très utiles en physique, en ingénierie et en mathématiques, car elles constituent un outil compact pour résoudre des problèmes complexes. L'utilité des matrices est renforcée lorsqu'elles sont inversibles et leur inverse est également connu.

Figure 1. Une matrice générique 2 × 2 et sa matrice inverse sont illustrées. (Préparé par Ricardo Pérez)

Dans les domaines du traitement graphique, du Big Data, du Data Mining, du Machine Learning et autres, des algorithmes efficaces et rapides sont utilisés pour évaluer la matrice inverse de matrices nxn à très grand n, de l'ordre de milliers ou millions.

Pour illustrer l'utilisation de la matrice inverse dans le traitement d'un système d'équations linéaires, nous allons commencer par le cas le plus simple de tous: matrices 1 × 1.

Le cas le plus simple: une équation linéaire d'une seule variable est considérée: 2 x = 10.

L'idée est de trouver la valeur de x, mais ce sera fait "matrice".

La matrice M = (2) qui multiplie le vecteur (x) est une matrice 1 × 1 qui aboutit au vecteur (10):

M (x) = (10)

L'inverse de la matrice M est noté M ^-1.

La manière générale d'écrire ce "système linéaire" est:

MX = B, où X est le vecteur (x) et B est le vecteur (10).

Par définition, la matrice inverse est celle qui multipliée par la matrice d'origine aboutit à la matrice d'identité I:

M ^-1 M = I

Dans le cas considéré, la matrice M ^-1 est la matrice (½), c'est-à-dire M ^-1 = (½) puisque M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Pour trouver le vecteur inconnu X = (x), dans l'équation proposée, les deux membres sont multipliés par la matrice inverse:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Une égalité de deux vecteurs a été atteinte, qui ne sont égaux que lorsque leurs éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire x = 5.

Calcul de l'inverse d'une matrice

Ce qui motive le calcul de la matrice inverse est de trouver une méthode universelle pour la résolution des systèmes linéaires comme le système 2 × 2 suivant:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

En suivant les étapes du cas 1 × 1, étudié dans la section précédente, nous écrivons le système d'équations sous forme matricielle:

Figure 2. Système linéaire sous forme matricielle.

Notez que ce système est écrit en notation vectorielle compacte comme suit:

MX = B

où

L'étape suivante consiste à trouver l'inverse de M.

Méthode 1: Utilisation de l'élimination gaussienne

La méthode d'élimination gaussienne sera appliquée. Qui consiste à faire des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, ces opérations sont:

- Multipliez une ligne par un nombre différent de zéro.

- Ajouter ou soustraire une autre ligne d'une ligne, ou le multiple d'une autre ligne.

- Échangez les lignes.

L'objectif est, à travers ces opérations, de convertir la matrice d'origine en matrice d'identité.

Comme cela est fait, dans la matrice M exactement les mêmes opérations sont appliquées à la matrice d'identité. Lorsque, après plusieurs opérations sur les lignes, M est transformé en matrice unitaire, alors celle qui était à l'origine l'unité deviendra la matrice inverse de M, c'est-à-dire M ^-1.

1- Nous commençons le processus en écrivant la matrice M et à côté d'elle la matrice unitaire:

2- On ajoute les deux lignes et on met le résultat dans la deuxième ligne, de cette façon on obtient un zéro dans le premier élément de la deuxième ligne:

3- On multiplie la deuxième ligne par -1 pour obtenir 0 et 1 dans la deuxième ligne:

4- La première ligne est multipliée par ½:

5- Le deuxième et le premier sont ajoutés et le résultat est placé dans la première ligne:

6- Maintenant pour terminer le processus, la première ligne est multipliée par 2 pour obtenir la matrice identité dans la première ligne et la matrice inverse de la matrice d'origine M dans la seconde:

C'est-à-dire:

Solution système

Une fois la matrice inverse obtenue, le système d'équations est résolu en appliquant la matrice inverse aux deux membres de l'équation vectorielle compacte:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Ce qui ressemble explicitement à ceci:

Ensuite, la multiplication matricielle est effectuée pour obtenir le vecteur X:

Méthode 2: utilisation de la matrice jointe

Dans ce second procédé, la matrice inverse est calculée à partir de la matrice adjointe de la matrice initiale A.

Supposons une matrice A donnée par:

où _{i, j} est l'élément dans la ligne i et la colonne j de la matrice A.

L'adjoint de la matrice A sera appelé Adj (A) et ses éléments sont:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

où Ai, j est la matrice inférieure complémentaire obtenu en éliminant la ligne i et la colonne j de la matrice d' origine A. Les barres ¦ ¦ indiquent que le déterminant est calculé, c'est-à-dire que ¦Ai, j¦ est le déterminant de la matrice complémentaire mineure.

Formule de matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse à partir de la matrice adjacente de la matrice d'origine est la suivante:

Est la matrice inverse de A, A ^-1, est la transposée de l'adjoint de A divisé par le déterminant de A.

La transposition A ^T d'une matrice A est obtenue en échangeant des lignes contre des colonnes, c'est-à-dire que la première ligne devient la première colonne et la deuxième ligne devient la deuxième colonne et ainsi de suite jusqu'à ce que les n lignes de la matrice d'origine soient complétées.

Exercice résolu

Soit la matrice A la suivante:

Chaque élément de la matrice adjointe de A est calculé: Adj (A)

Il en résulte que la matrice adjointe de A, Adj (A) est la suivante:

Ensuite, le déterminant de la matrice A, det (A) est calculé:

Enfin la matrice inverse de A est obtenue:

Références

1. Anthony Nicolaides (1994) Déterminants et matrices. Passer la publication.
2. Awol Assen (2013) Une étude sur le calcul des déterminants d'un 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Introduction à l'algèbre linéaire. Éditorial ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: Guide de survie d'un étudiant. La presse de l'Universite de Cambridge.
6. Richard J. Brown (2012) 30 secondes de mathématiques: les 50 théories les plus expansionnistes en mathématiques. Ivy Press Limited.
7. Matrice. Édition académique Lap Lambert.