- Exemples
- Les avantages des logarithmes
- Exemple
- Répondre
- Exercice d'application: l'échelle de Richter
- Solution
- Références
La fonction logarithmique est une relation mathématique qui associe chaque nombre réel positif x à son logarithme y sur une base a. Cette relation répond aux exigences pour être une fonction: chaque élément x appartenant au domaine a une image unique.
Donc:
Puisque le logarithme basé sur un nombre x est le nombre y auquel la base a doit être élevée pour obtenir x.
-Le logarithme de la base est toujours 1. Ainsi, le graphique de f (x) = log a x coupe toujours l'axe des x au point (1,0)
-La fonction logarithmique est transcendante et ne peut pas être exprimée comme un polynôme ou comme un quotient de ceux-ci. En plus du logarithme, ce groupe comprend les fonctions trigonométriques et l'exponentielle, entre autres.
Exemples
La fonction logarithmique peut être établie par différentes bases, mais les plus utilisées sont 10 et e, où e est le nombre d'Euler égal à 2,71828….
Lorsque la base 10 est utilisée, le logarithme est appelé logarithme décimal, logarithme ordinaire, Briggs 'ou simplement logarithme.
Et si le nombre e est utilisé, alors on l'appelle un logarithme naturel, d'après John Napier, le mathématicien écossais qui a découvert les logarithmes.
La notation utilisée pour chacun est la suivante:
-Logarithme décimal: log 10 x = log x
-Logarithme népérien: ln x
Lorsqu'une autre base va être utilisée, il est absolument nécessaire de l'indiquer en indice, car le logarithme de chaque nombre est différent selon la base qui va être utilisée. Par exemple, s'il s'agit de logarithmes en base 2, écrivez:
y = log 2 x
Regardons le logarithme du nombre 10 dans trois bases différentes, pour illustrer ce point:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Les calculatrices courantes n'apportent que les logarithmes décimaux (fonction log) et le logarithme naturel (fonction ln). Sur Internet, il existe des calculatrices avec d'autres bases. Dans tous les cas, le lecteur peut vérifier, avec son aide, que les valeurs précédentes sont satisfaites:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10 0001
2 3,32193 = 10,0000
Les petites différences décimales sont dues au nombre de décimales prises dans le calcul du logarithme.
Les avantages des logarithmes
L'un des avantages de l'utilisation des logarithmes est la facilité qu'ils offrent à travailler avec de grands nombres, en utilisant leur logarithme au lieu du nombre directement.
Cela est possible car la fonction logarithme croît plus lentement à mesure que les nombres augmentent, comme nous pouvons le voir sur le graphique.
Ainsi, même avec de très grands nombres, leurs logarithmes sont beaucoup plus petits et la manipulation de petits nombres est toujours plus facile.
De plus, les logarithmes ont les propriétés suivantes:
- Produit: log (ab) = log a + log b
- Quotient: log (a / b) = log a - log b
- Puissance: log a b = b.log a
Et de cette façon, les produits et les quotients deviennent des ajouts et des soustractions de plus petits nombres, tandis que l'autonomisation devient un simple produit même si la puissance est élevée.
C'est pourquoi les logarithmes permettent d'exprimer des nombres qui varient dans de très larges gammes de valeurs, telles que l'intensité du son, le pH d'une solution, la luminosité des étoiles, la résistance électrique et l'intensité des tremblements de terre sur l'échelle de Richter.
Figure 2. Les logarithmes sont utilisés sur l'échelle de Richter pour quantifier la magnitude des tremblements de terre. L'image montre un bâtiment effondré à Concepción, au Chili, lors du tremblement de terre de 2010. Source: Wikimedia Commons.
Voyons un exemple de la gestion des propriétés des logarithmes:
Exemple
Trouvez la valeur de x dans l'expression suivante:
Répondre
Nous avons ici une équation logarithmique, puisque l'inconnu est dans l'argument du logarithme. Il est résolu en laissant un seul logarithme de chaque côté de l'égalité.
Nous commençons par placer tous les termes qui contiennent "x" à gauche de l'égalité, et ceux qui ne contiennent que des nombres à droite:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Sur la gauche, nous avons la soustraction de deux logarithmes, qui peuvent être écrits comme le logarithme d'un quotient:
log = 1
Cependant, à droite se trouve le numéro 1, que nous pouvons exprimer sous forme de log 10, comme nous l'avons vu précédemment. Ensuite:
log = log 10
Pour que l'égalité soit vraie, les arguments des logarithmes doivent être égaux:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Exercice d'application: l'échelle de Richter
En 1957, un tremblement de terre s'est produit au Mexique dont la magnitude était de 7,7 sur l'échelle de Richter. En 1960, un autre tremblement de terre de plus grande ampleur s'est produit au Chili, de 9,5.
Calculez combien de fois le séisme au Chili a été plus intense que celui du Mexique, sachant que la magnitude M R sur l'échelle de Richter est donnée par la formule:
M R = log (10 4 I)
Solution
La magnitude sur l'échelle de Richter d'un tremblement de terre est une fonction logarithmique. Nous allons calculer l'intensité de chaque tremblement de terre, puisque nous avons les magnitudes de Richter. Faisons-le étape par étape:
- Mexique: 7,7 = log (10 4 I)
Puisque l'inverse de la fonction logarithme est l'exponentielle, nous l'appliquons aux deux côtés de l'égalité avec l'intention de résoudre pour I, qui se trouve dans l'argument du logarithme.
Puisqu'il s'agit de logarithmes décimaux, la base est 10. Ensuite:
10 7,7 = 10 4 I
L'intensité du tremblement de terre au Mexique était:
Je M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chili: 9,5 = log (10 4 I)
La même procédure nous conduit à l'intensité du séisme chilien I Ch:
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Maintenant, nous pouvons comparer les deux intensités:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Je M
Le tremblement de terre au Chili a été environ 63 fois plus intense que celui du Mexique. Puisque la magnitude est logarithmique, elle croît plus lentement que l'intensité, donc une différence de 1 dans la magnitude signifie une amplitude 10 fois plus grande de l'onde sismique.
La différence entre les magnitudes des deux tremblements de terre est de 1,8, nous pourrions donc nous attendre à une différence d'intensité plus proche de 100 que de 10, comme cela s'est réellement produit.
En fait, si la différence avait été exactement de 2, le tremblement de terre chilien aurait été 100 fois plus intense que celui du Mexique.
Références
- Carena, M. 2019. Manuel de mathématiques pré-universitaires. Université nationale du littoral.
- Figuera, J. 2000. Mathématiques 1ère. Année diversifiée. Éditions CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9ème. Édition. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathématiques pour le calcul. 5ème. Édition. Apprentissage Cengage.