COEFFICIENT DE CORRÉLATION: FORMULES, CALCUL, INTERPRÉTATION, EXEMPLE - DUDAS - 2025

Le coefficient de corrélation en statistique est un indicateur qui mesure la tendance de deux variables quantitatives X et Y à avoir une relation linéaire ou proportionnelle entre elles.

Généralement, les paires de variables X et Y sont deux caractéristiques d'une même population. Par exemple, X pourrait être la taille d'une personne et Y son poids.

Figure 1. Coefficient de corrélation pour quatre paires de données (X, Y). Source: F. Zapata.

Dans ce cas, le coefficient de corrélation indiquerait s'il existe ou non une tendance à une relation proportionnelle entre la taille et le poids dans une population donnée.

Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson est indiqué par la lettre minuscule r et ses valeurs minimale et maximale sont respectivement -1 et +1.

Une valeur r = +1 indiquerait que l'ensemble des paires (X, Y) sont parfaitement alignés et que lorsque X croît, Y croîtra dans la même proportion. Par contre, s'il arrivait que r = -1, l'ensemble des paires serait également parfaitement aligné, mais dans ce cas lorsque X augmente, Y diminue dans la même proportion.

Figure 2. Différentes valeurs du coefficient de corrélation linéaire. Source: Wikimedia Commons.

D'autre part, une valeur r = 0 indiquerait qu'il n'y a pas de corrélation linéaire entre les variables X et Y. Tandis qu'une valeur de r = +0.8 indiquerait que les paires (X, Y) ont tendance à se regrouper d'un côté et un autre d'une certaine ligne.

La formule pour calculer le coefficient de corrélation r est la suivante:

Comment calculer le coefficient de corrélation?

Le coefficient de corrélation linéaire est une quantité statistique intégrée aux calculatrices scientifiques, à la plupart des feuilles de calcul et aux programmes statistiques.

Cependant, il est pratique de savoir comment la formule qui la définit est appliquée, et pour cela un calcul détaillé sera affiché, effectué sur un petit ensemble de données.

Et comme il a été dit dans la section précédente, le coefficient de corrélation est la covariance Sxy divisée par le produit de l'écart type Sx pour les variables X et Sy pour la variable Y.

Covariance et variance

La covariance Sxy est:

Sxy = / (N-1)

Où la somme va de 1 aux N paires de données (Xi, Yi). et sont les moyennes arithmétiques des données Xi et Yi respectivement.

Pour sa part, l'écart type de la variable X est la racine carrée de la variance de l'ensemble de données Xi, avec i de 1 à N:

Sx = √

De même, l'écart type de la variable Y est la racine carrée de la variance de l'ensemble de données Yi, avec i de 1 à N:

Sy = √

Cas illustratif

Afin de montrer en détail comment calculer le coefficient de corrélation, nous prendrons l'ensemble suivant de quatre paires de données

(X, Y): {(1, 1); (2,3); (3, 6) et (4, 7)}.

Nous calculons d'abord la moyenne arithmétique pour X et Y, comme suit:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Ensuite, les paramètres restants sont calculés:

Covariance Sxy

Sxy = / (4-1)

Sxy = / (3) = 10,5 / 3 = 3,5

Écart type Sx

Sx = √ = √ = 1,29

Écart type Sy

Sx = √ =

√ = 2,75

Coefficient de corrélation r

r = 3,5 / (1,29 * 2,75) = 0,98

Interprétation

Dans l'ensemble de données du cas précédent, une forte corrélation linéaire entre les variables X et Y est observée, qui se manifeste à la fois dans le nuage de points (illustré à la figure 1) et dans le coefficient de corrélation, qui a donné un valeur assez proche de l'unité.

Dans la mesure où le coefficient de corrélation est plus proche de 1 ou de -1, plus il est logique d'ajuster les données à une ligne, résultat d'une régression linéaire.

Régression linéaire

La droite de régression linéaire est obtenue à partir de la méthode des moindres carrés. dans lequel les paramètres de la droite de régression sont obtenus à partir de la minimisation de la somme du carré de la différence entre la valeur Y estimée et le Yi des N données.

Par contre, les paramètres a et b de la droite de régression y = a + bx, obtenus par la méthode des moindres carrés, sont:

* b = Sxy / (Sx ²) pour la pente

* a = - b pour l'intersection de la droite de régression avec l'axe Y.

Rappelons que Sxy est la covariance définie ci-dessus et Sx ² est la variance ou le carré de l'écart type défini ci-dessus. et sont les moyennes arithmétiques des données X et Y respectivement.

Exemple

Le coefficient de corrélation est utilisé pour déterminer s'il existe une corrélation linéaire entre deux variables. Elle s'applique lorsque les variables à étudier sont quantitatives et, de plus, on suppose qu'elles suivent une distribution de type normale.

Un exemple illustratif est donné ci-dessous: une mesure du degré d'obésité est l'indice de masse corporelle, qui est obtenu en divisant le poids d'une personne en kilogrammes par sa taille au carré en unités de mètres au carré.

Vous voulez savoir s'il existe une forte corrélation entre l'indice de masse corporelle et la concentration de cholestérol HDL dans le sang, mesurée en millimoles par litre. A cet effet, une étude a été menée auprès de 533 personnes qui est résumée dans le graphique suivant, dans lequel chaque point représente les données d'une personne.

Figure 3. Etude de l'IMC et du cholestérol HDL chez 533 patients. Source: Institut aragonais des sciences de la santé (IACS).

Une observation attentive du graphique montre qu'il existe une certaine tendance linéaire (peu marquée) entre la concentration de cholestérol HDL et l'indice de masse corporelle. La mesure quantitative de cette tendance est le coefficient de corrélation qui, dans ce cas, s'est avéré être r = -0,276.

Références

1. González C. Statistiques générales. Récupéré de: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. Institut aragonais des sciences de la santé. Récupéré de: ics-aragon.com
3. Salazar C. et Castillo S. Principes de base de la statistique. (2018). Récupéré de: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Coefficient de corrélation. Récupéré de: superprof.es
5. USAC. Manuel de statistiques descriptives. (2011). Récupéré de: statistics.ingenieria.usac.edu.gt
6. Wikipédia. Coefficient de corrélation de Pearson. Récupéré de: es.wikipedia.com.