CLASSIFICATION DES NOMBRES RÉELS - SCIENCE - 2025

La principale classification des nombres réels est divisée en nombres naturels, nombres entiers, nombres rationnels et nombres irrationnels. Les nombres réels sont représentés par la lettre R.

Il existe de nombreuses manières de construire ou de décrire les différents nombres réels, allant des formes les plus simples aux plus complexes, selon le travail mathématique à effectuer.

Comment les nombres réels sont-ils classés?

- Nombres naturels

Les nombres naturels sont représentés par la lettre (n) et sont ceux utilisés pour compter (0,1,2,3,4…). Par exemple "il y a quinze roses dans le jardin", "La population du Mexique est de 126 millions d' habitants" ou "La somme de deux et deux fait quatre ". Il convient de noter que certaines classifications incluent 0 comme nombre naturel et d'autres pas.

Deux enfants faisant une somme de deux nombres naturels.

Les nombres naturels n'incluent pas ceux qui ont une partie décimale. Par conséquent, «La population du Mexique est de 126,2 millions de personnes» ou «La température est de 24,5 degrés Celsius» ne peuvent être considérés comme des nombres naturels.

Dans le langage courant, comme par exemple dans les écoles élémentaires, les nombres naturels peuvent être appelés à compter les nombres pour exclure les entiers négatifs et zéro.

Les nombres naturels sont les bases avec lesquelles de nombreux autres ensembles de nombres peuvent être construits par extension: les nombres entiers, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes, entre autres.

Les propriétés des nombres naturels, telles que la divisibilité et la distribution des nombres primaires, sont étudiées en théorie des nombres. Les problèmes liés au comptage et au classement, tels que les dénombrements et le partitionnement, sont étudiés en combinatoire.

Ils ont plusieurs propriétés, telles que: addition, multiplication, soustraction, division, etc.

Nombres ordinaux et cardinaux

Les nombres naturels peuvent être ordinaux ou cardinaux.

Les nombres cardinaux seraient ceux qui sont utilisés comme nombres naturels, comme nous l'avons mentionné plus tôt dans les exemples. "J'ai deux biscuits", "Je suis père de trois enfants", "Le coffret comprend deux crèmes gratuites ".

Les ordinaux sont ceux qui expriment un ordre ou indiquent une position. Par exemple, dans une course, l'ordre d'arrivée des coureurs est indiqué en commençant par le vainqueur et en terminant par le dernier ayant atteint la ligne d'arrivée.

De cette façon, on dira que le gagnant est le "premier", le suivant le "second", le suivant le "troisième" et ainsi de suite jusqu'au dernier. Ces nombres peuvent être représentés par une lettre en haut à droite pour simplifier l'écriture (1er, 2e, 3e, 4e, etc.).

- Nombres entiers

Les nombres entiers sont constitués de ces nombres naturels et de leurs opposés, c'est-à-dire des nombres négatifs (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Comme les nombres naturels, ceux-ci n'incluent pas non plus ceux qui ont une partie décimale.

Un exemple de nombres entiers serait "il y a 30º en moyenne en Allemagne", "j'étais à 0 à la fin du mois", "Pour descendre au sous-sol il faut appuyer sur le bouton -1 de l'ascenseur".

À leur tour, les nombres entiers ne peuvent pas être écrits avec une composante fractionnaire. Par exemple, des nombres comme 8,58 ou √2 ne sont pas des nombres entiers.

Les nombres entiers sont représentés par la lettre (Z). Z est un sous-ensemble du groupe de nombres rationnels Q, qui forment à leur tour le groupe de nombres réels R. Comme les nombres naturels, Z est un groupe dénombrable infini.

Les nombres entiers constituent le plus petit groupe et le plus petit ensemble d'entiers naturels. Dans la théorie algébrique des nombres, les entiers sont parfois appelés entiers irrationnels pour les distinguer des entiers algébriques.

- Nombres rationnels

L'ensemble des nombres rationnels est représenté par la lettre (Q) et comprend tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction de nombres entiers.

Autrement dit, cet ensemble comprend des nombres naturels (4/1), des nombres entiers (-4/1) et des nombres décimaux exacts (15,50 = 1550/100).

La distribution de 1/6 du fromage est un nombre rationnel.

L'expansion décimale d'un nombre rationnel se termine toujours après un nombre fini de chiffres (ex: 15,50) ou lorsque la même suite finie de chiffres commence à se répéter encore et encore (ex: 0,3456666666666666…). Par conséquent, dans l'ensemble des nombres rationnels, des nombres sont inclus. journaux purs ou journaux mixtes.

De plus, toute décimale répétitive ou terminale représente un nombre rationnel. Ces déclarations sont vraies non seulement pour la base 10, mais également pour toute autre base entière.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est appelé irrationnel. Les nombres irrationnels incluent √2, π et e, par exemple. Puisque l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable et que le groupe des nombres réels n'est pas dénombrable, on peut dire que presque tous les nombres réels sont irrationnels.

Les nombres rationnels peuvent être formellement définis comme des classes d'équivalence de paires d'entiers (p, q) telles que q ≠ 0 ou la relation équivalente définie par (p1, q1) (p2, q2) uniquement si p1, q2 = p2q1.

Les nombres rationnels, avec l'addition et la multiplication, forment des champs qui composent des nombres entiers et sont contenus par toute branche contenant des entiers.

- Nombres irrationnels

Les nombres irrationnels sont tous des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels; les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés en fractions. Les nombres rationnels sont des nombres composés de fractions de nombres entiers.

En conséquence du test de Cantor qui dit que tous les nombres réels sont indénombrables et que les nombres rationnels sont dénombrables, on peut conclure que presque tous les nombres réels sont irrationnels.

Lorsque le rayon de longueur de deux segments de ligne est un nombre irrationnel, on peut dire que ces segments de ligne sont incommensurables; ce qui signifie qu'il n'y a pas une longueur suffisante pour que chacun d'eux puisse être "mesuré" avec un multiple entier particulier de celui-ci.

Parmi les nombres irrationnels figurent le rayon π d'une circonférence de cercle à son diamètre, le nombre d'Euler (e), le nombre d'or (φ) et la racine carrée de deux; de plus, toutes les racines carrées des nombres naturels sont irrationnelles. La seule exception à cette règle sont les carrés parfaits.

On peut voir que lorsque des nombres irrationnels sont exprimés de manière positionnelle dans un système numérique, (comme par exemple en nombres décimaux) ils ne se terminent pas ou ne se répètent pas.

Cela signifie qu'ils ne contiennent pas une séquence de chiffres, la répétition par laquelle une ligne de la représentation est faite.

Simplification du nombre irrationnel pi.

Par exemple: la représentation décimale du nombre π commence par 3,14159265358979, mais il n'y a pas de nombre fini de chiffres qui peuvent représenter π exactement, ni qu'ils ne peuvent être répétés.

La preuve que le développement décimal d'un nombre rationnel doit se terminer ou se répéter est différente de la preuve qu'une extension décimale doit être un nombre rationnel; Bien que basiques et assez longs, ces tests demandent du travail.

Habituellement, les mathématiciens ne prennent généralement pas la notion de «fin ou répétition» pour définir le concept de nombre rationnel.

Les nombres irrationnels peuvent également être traités via des fractions non continues.

Références

1. Classifyng des nombres réels. Récupéré de chilimath.com.
2. Entier naturel. Récupéré de wikipedia.org.
3. Classification des nombres. Récupéré de ditutor.com.
4. Récupéré de wikipedia.org.
5. Nombre irrationnel. Récupéré de wikipedia.org.