- Termes importants
- Méthodes
- - Étapes pour appliquer l'analyse de maillage
- Étape 1
- Étape 2
- Maille abcda
- Solution système par la méthode de Cramer
- Étape 1: Calculez Δ
- Étape 3: Calculez I
- Étape 4: Calculez Δ
- Solution
- Maille 3
- Tableau des courants et tensions dans chaque résistance
- Solution de règle de Cramer
- Références
L' analyse de maillage est une technique utilisée pour résoudre des plans de circuits électriques. Cette procédure peut également apparaître dans la littérature comme la méthode des courants de circuit ou la méthode des courants de maillage (ou boucle).
Le fondement de cette méthode et d'autres méthodes d'analyse des circuits électriques est dans les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm. Les lois de Kirchhoff, quant à elles, sont l'expression de deux principes très importants de conservation en physique pour les systèmes isolés: la charge électrique et l'énergie sont conservées.
Figure 1. Les circuits font partie d'innombrables appareils. Source: Pixabay.
D'une part, la charge électrique est liée au courant, qui est une charge en mouvement, tandis que dans un circuit, l'énergie est liée à la tension, qui est l'agent chargé de faire le travail nécessaire pour maintenir la charge en mouvement.
Ces lois, appliquées à un circuit plat, génèrent un ensemble d'équations simultanées qu'il faut résoudre pour obtenir les valeurs de courant ou de tension.
Le système d'équations peut être résolu avec des techniques analytiques bien connues, telles que la règle de Cramer, qui nécessite le calcul de déterminants pour obtenir la solution du système.
En fonction du nombre d'équations, elles sont résolues à l'aide d'une calculatrice scientifique ou d'un logiciel mathématique. Il existe également de nombreuses options disponibles en ligne.
Termes importants
Avant d'expliquer son fonctionnement, nous commencerons par définir ces termes:
Branch: section qui contient un élément du circuit.
Nœud: point qui relie deux ou plusieurs branches.
Boucle: est toute partie fermée d'un circuit, qui commence et se termine au même nœud.
Mesh: boucle qui ne contient aucune autre boucle à l'intérieur (maillage essentiel).
Méthodes
L'analyse de maillage est une méthode générale utilisée pour résoudre des circuits dont les éléments sont connectés en série, en parallèle ou de manière mixte, c'est-à-dire lorsque le type de connexion n'est pas clairement distingué. Le circuit doit être plat, ou du moins il doit être possible de le redessiner comme tel.
Figure 2. Circuits plats et non plats. Source: Alexander, C. 2006. Principes fondamentaux des circuits électriques. 3e. Édition. Mc Graw Hill.
Un exemple de chaque type de circuit est illustré dans la figure ci-dessus. Une fois que le point est clair, pour commencer, nous appliquerons la méthode à un circuit simple à titre d'exemple dans la section suivante, mais nous allons d'abord passer brièvement en revue les lois d'Ohm et Kirchhoff.
Loi d'Ohm: soit V la tension, R la résistance et I le courant de l'élément résistif ohmique, dans lequel la tension et le courant sont directement proportionnels, la résistance étant la constante de proportionnalité:
Loi de Kirchhoff de la tension (LKV): Dans tout chemin fermé parcouru dans une seule direction, la somme algébrique des tensions est nulle. Cela inclut les tensions dues aux sources, résistances, inductances ou condensateurs: ∑ E = ∑ R i. je
Loi du courant de Kirchhoff (LKC): à n'importe quel nœud, la somme algébrique des courants est nulle, en tenant compte du fait que les courants entrants se voient attribuer un signe et ceux qui en quittent un autre. De cette façon: ∑ I = 0.
Avec la méthode du courant de maillage, il n'est pas nécessaire d'appliquer la loi actuelle de Kirchhoff, ce qui entraîne moins d'équations à résoudre.
- Étapes pour appliquer l'analyse de maillage
Nous commencerons par expliquer la méthode pour un circuit à 2 mailles. La procédure peut alors être étendue pour les circuits plus grands.
Figure 3. Circuit avec résistances et sources disposées en deux mailles. Source: F. Zapata.
Étape 1
Attribuez et dessinez des courants indépendants à chaque maillage, dans cet exemple ils sont I 1 et I 2. Ils peuvent être dessinés dans le sens horaire ou antihoraire.
Étape 2
Appliquez la loi des tensions de Kirchhoff (LTK) et la loi d'Ohm à chaque maillage. Les chutes potentielles reçoivent un signe (-) tandis que les hausses se voient attribuer un signe (+).
Maille abcda
En partant du point a et en suivant le sens du courant, on trouve une hausse de potentiel de la batterie E1 (+), puis une baisse de R 1 (-) puis une autre baisse de R 3 (-).
Simultanément, la résistance R 3 est également traversée par le courant I 2, mais en sens inverse, elle représente donc une hausse (+). La première équation ressemble à ceci:
Ensuite, il est factorisé et les termes sont regroupés:
---------
-50 I 1 + 10I 2 = -12
Puisqu'il s'agit d'un système d'équations 2 x 2, il peut être facilement résolu par réduction, en multipliant la deuxième équation par 5 pour éliminer l'inconnu I 1:
-50 I 1 + 10 I 2 = -12
Immédiatement, le courant I 1 est effacé de l'une des équations d'origine:
Le signe négatif du courant I 2 signifie que le courant dans la maille 2 circule dans le sens opposé à celui tiré.
Les courants dans chaque résistance sont les suivants:
Le courant I 1 = 0,16 A traverse la résistance R 1 dans le sens dessiné, à travers la résistance R 2 le courant I 2 = 0,41 A circule dans le sens opposé à celui prélevé, et à travers la résistance R 3 circule i 3 = 0,16- (-0,41) A = 0,57 A vers le bas.
Solution système par la méthode de Cramer
Sous forme matricielle, le système peut être résolu comme suit:
Étape 1: Calculez Δ
La première colonne est remplacée par les termes indépendants du système d'équations, en conservant l'ordre dans lequel le système a été initialement proposé:
Étape 3: Calculez I
Étape 4: Calculez Δ
Figure 4. Circuit à 3 mailles. Source: Boylestad, R. 2011. Introduction à l'analyse des circuits, 2da. Édition. Pearson.
Solution
Les trois courants de maillage sont tracés, comme le montre la figure suivante, dans des directions arbitraires. Maintenant, les maillages sont parcourus à partir de n'importe quel point:
Figure 5. Courants de maillage pour l'exercice 2. Source: F. Zapata, modifié de Boylestad.
Maille 1
-9100.I 1 + 18-2200.I 1 + 9100.I 2 = 0
Maille 3
Système d'équations
Bien que les nombres soient importants, ils peuvent être résolus rapidement à l'aide d'une calculatrice scientifique. N'oubliez pas que les équations doivent être ordonnées et ajouter des zéros aux endroits où l'inconnu n'apparaît pas, comme il apparaît ici.
Les courants de maillage sont:
Les courants I 2 et I 3 circulent dans le sens opposé à celui représenté sur la figure, car ils se sont révélés négatifs.
Tableau des courants et tensions dans chaque résistance
| Résistance (Ω) | Courant (ampères) | Tension = IR (volts) |
|---|---|---|
| 9100 | I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15,3 |
| 3300 | 0,00062 | 2,05 |
| 2200 | 0,0012 | 2,64 |
| 7500 | 0,00048 | 3,60 |
| 6800 | I 2 –I 3 = -0,00048 - (- 0,00062) = 0,00014 | 0,95 |
Solution de règle de Cramer
Puisqu'il s'agit de grands nombres, il est pratique d'utiliser la notation scientifique pour travailler directement avec eux.
Calcul de I 1
Les flèches colorées dans le déterminant 3 x 3 indiquent comment trouver les valeurs numériques, en multipliant les valeurs indiquées. Commençons par obtenir ceux de la première tranche dans le déterminant Δ:
(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 12
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Immédiatement, nous obtenons la deuxième parenthèse dans ce même déterminant, qui est travaillée de gauche à droite (pour cette parenthèse, les flèches de couleur n'ont pas été dessinées sur la figure). Nous invitons le lecteur à le vérifier:
0 x (-23400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10 11
6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10 11
De même, le lecteur peut également vérifier les valeurs du déterminant Δ 1.
Important: entre les deux parenthèses, il y a toujours un signe négatif.
Enfin le courant I 1 est obtenu par I 1 = Δ 1 / Δ
Calcul de I 2
La procédure peut être répétée pour calculer I 2, dans ce cas, pour calculer le déterminant Δ 2, la deuxième colonne du déterminant Δ est remplacée par la colonne des termes indépendants et sa valeur est trouvée, selon la procédure expliquée.
Cependant, comme il est encombrant en raison des grands nombres, surtout si vous n'avez pas de calculatrice scientifique, le plus simple est de substituer la valeur déjà calculée de I 1 dans l'équation suivante et de résoudre:
Calcul de I3
Une fois avec les valeurs de I 1 et I 2 en main, celle de I 3 se retrouve directement par substitution.
Références
- Alexander, C. 2006. Principes fondamentaux des circuits électriques. 3e. Édition. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Introduction à l'analyse de circuits.2da. Édition. Pearson.
- Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 5. Interaction électrique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
- García, L. 2014. Electromagnétisme. 2ème. Édition. Université industrielle de Santander.
- Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Ed. Volume 2.