VITESSE INSTANTANÉE: DÉFINITION, FORMULE, CALCUL ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

La vitesse instantanée est définie comme le changement instantané du décalage temporel. C'est un concept qui ajoute une grande précision à l'étude du mouvement. Et c'est une avance par rapport à la vitesse moyenne, dont les informations sont très générales.

Pour obtenir la vitesse instantanée, examinons un intervalle de temps aussi petit que possible. Le calcul différentiel est l'outil parfait pour exprimer cette idée mathématiquement.

La vitesse instantanée indique la vitesse du mobile à chaque point de son trajet. Source: Pixabay.

Le point de départ est la vitesse moyenne:

Cette limite est connue sous le nom de dérivé. Dans la notation de calcul différentiel, nous avons:

Tant que le mouvement est limité à une ligne droite, la notation vectorielle peut être supprimée.

Calcul de la vitesse instantanée: interprétation géométrique

La figure suivante montre l'interprétation géométrique du concept dérivé: c'est la pente de la tangente à la courbe x (t) vs. t à chaque point.

La vitesse instantanée en P est numériquement égale à la pente de la tangente à la courbe x vs. t au point P. Source: Source: す じ に く シ チ ュ ー.

Vous pouvez imaginer comment obtenir la limite si le point Q s'approche petit à petit du point P. Il viendra un moment où les deux points seront si proches, que vous ne pourrez plus distinguer l'un de l'autre.

La ligne qui les rejoint passera alors de sécante (ligne qui se coupe en deux points) à tangente (ligne qui touche la courbe en un seul point). Par conséquent, pour trouver la vitesse instantanée d'une particule en mouvement, nous devrions avoir:

• Le graphique de la position de la particule en fonction du temps. En trouvant la pente de la ligne tangente à la courbe à chaque instant de temps, nous avons la vitesse instantanée à chaque point qu'occupe la particule.

Ou bien:

• La fonction de position de la particule x (t), qui est dérivée pour obtenir la fonction de vitesse v (t), alors cette fonction est évaluée à chaque instant t, à convenance. La fonction de position est supposée différentiable.

Quelques cas particuliers dans le calcul de la vitesse instantanée

-La pente de la tangente à la courbe en P est 0. Une pente nulle signifie que le mobile est arrêté et que sa vitesse est bien sûr 0.

-La pente de la tangente à la courbe en P est supérieure à 0. La vitesse est positive. Dans le graphique ci-dessus, cela signifie que le mobile s'éloigne de O.

-La pente de la tangente à la courbe en P est inférieure à 0. La vitesse serait négative. Dans le graphique ci-dessus, il n'y a pas de tels points, mais dans ce cas, la particule se rapprocherait de O.

-La pente de la tangente à la courbe est constante en P et en tous les autres points. Dans ce cas le graphe est une ligne droite et le mobile a un mouvement rectiligne uniforme MRU (sa vitesse est constante).

En général, la fonction v (t) est également une fonction du temps, qui à son tour peut avoir une dérivée. Et s'il n'était pas possible de trouver les dérivées des fonctions x (t) et v (t)?

Dans le cas de x (t), il se peut que la pente - la vitesse instantanée - change de signe brusquement. Ou qu'il passerait de zéro à une valeur différente immédiatement.

Si tel est le cas, le graphique x (t) présenterait des points ou des coins aux endroits des changements soudains. Très différent du cas représenté sur l'image précédente, dans lequel la courbe x (t) est une courbe lisse, sans points, coins, discontinuités ou changements brusques.

La vérité est que pour les vrais mobiles, les courbes lisses sont celles qui représentent le mieux le comportement de l'objet.

Le mouvement en général est assez complexe. Les mobiles peuvent être arrêtés pendant un certain temps, accélérer depuis le repos pour avoir une vitesse et s'éloigner du point de départ, maintenir la vitesse pendant un moment, puis freiner pour s'arrêter à nouveau et ainsi de suite.

Encore une fois, ils peuvent recommencer et continuer dans la même direction. Soit opérez l'inverse et retournez. C'est ce qu'on appelle un mouvement varié dans une dimension.

Voici quelques exemples de calcul de la vitesse instantanée qui clarifieront l'utilisation des définitions données:

Exercices résolus de vitesse instantanée

Exercice 1

Une particule se déplace le long d'une ligne droite avec la loi de mouvement suivante:

Toutes les unités sont dans le système international. Trouver:

a) La position de la particule à t = 3 secondes.

b) La vitesse moyenne dans l'intervalle entre t = 0 s et t = 3 s.

c) La vitesse moyenne dans l'intervalle entre t = 0 s et t = 3 s.

d) La vitesse instantanée de la particule de la question précédente, à t = 1 s.

Réponses

a) Pour trouver la position de la particule, la loi du mouvement (fonction de position) est évaluée à t = 3:

x (3) = (-4/3).3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Il n'y a aucun problème que la position soit négative. Le signe (-) indique que la particule est à gauche de l'origine O.

b) Dans le calcul de la vitesse moyenne, les positions finale et initiale de la particule sont requises aux instants indiqués: x (3) et x (0). La position à t = 3 est x (3) et est connue du résultat précédent. La position à t = 0 seconde est x (0) = -10 m.

Puisque la position finale est la même que la position initiale, on en conclut immédiatement que la vitesse moyenne est de 0.

c) La vitesse moyenne est le rapport entre la distance parcourue et le temps pris. Maintenant, la distance est le module ou l'amplitude du déplacement, donc:

distance = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Notez que la distance parcourue est toujours positive.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Ici, il est nécessaire de trouver la première dérivée de la position par rapport au temps. Ensuite, il est évalué pour t = 1 seconde.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Exercice 2

Ci-dessous, le graphique de la position d'un mobile en fonction du temps. Trouvez la vitesse instantanée à t = 2 secondes.

Graphique de la position en fonction du temps pour un mobile. Source: self made.

Répondre

Tracez la ligne tangente à la courbe à t = 2 secondes, puis trouvez sa pente en prenant deux points quelconques sur la ligne.

Pour calculer la vitesse instantanée au point indiqué, tracez la tangente à ce point et trouvez sa pente. Source: self made.

Dans cet exemple nous prendrons deux points facilement visualisables, dont les coordonnées sont (2 s, 10 m) et la coupe avec l'axe vertical (0 s, 7 m):

Références

1. Giancoli, D. Physique. Principes avec applications. 6 ^e édition. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Physique. Volume 1. Troisième édition en espagnol. Mexique. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7 ^ma. Édition. Mexique. Éditeurs d'apprentissage Cengage. 23-25.