- Applications
- Notation et représentations vectorielles 3D
- Angles et cosinus directeurs d'un vecteur
- Exercices résolus
- -Exercice 1
- Solution
- -Exercice 2
- Solution
- Étape 1: Trouvez les coordonnées de tous les points
- Étape 2: Trouvez les vecteurs dans chaque direction en soustrayant les coordonnées de la fin et du début
- Étape 3: Calculez les modules et les vecteurs d'unité
- Étape 4: exprimer toutes les contraintes sous forme de vecteurs
- Étape 5: Appliquer la condition d'équilibre statique et résoudre le système d'équations
- Références
Un vecteur dans l'espace est tout ce que représente un système de coordonnées donné par x, y et z. La plupart du temps, le plan xy est le plan de surface horizontal et l'axe z représente la hauteur (ou la profondeur).
Les axes de coordonnées cartésiennes illustrés dans la figure 1 divisent l'espace en 8 régions appelées octants, de manière analogue à la façon dont les axes x - y divisent le plan en 4 quadrants. Nous aurons alors le 1er octant, le 2ème octant et ainsi de suite.
Figure 1. Un vecteur dans l'espace. Source: self made.
La figure 1 contient une représentation d'un vecteur v dans l'espace. Une certaine perspective est nécessaire pour créer l'illusion de trois dimensions sur le plan de l'écran, ce qui est obtenu en dessinant une vue oblique.
Pour représenter graphiquement un vecteur 3D, il faut utiliser les lignes pointillées qui déterminent sur la grille les coordonnées de la projection ou «ombre» de v sur la surface xy. Cette projection commence en O et se termine au point vert.
Une fois là-bas, il faut continuer le long de la verticale jusqu'à la hauteur (ou profondeur) nécessaire en fonction de la valeur de z, jusqu'à atteindre P. Le vecteur est dessiné à partir de O et se terminant à P, qui dans l'exemple est dans le 1er octant.
Applications
Les vecteurs dans l'espace sont largement utilisés en mécanique et dans d'autres branches de la physique et de l'ingénierie, car les structures qui nous entourent nécessitent une géométrie en trois dimensions.
Les vecteurs de position dans l'espace sont utilisés pour positionner des objets par rapport à un point de référence appelé origine OR. Par conséquent, ce sont également des outils nécessaires à la navigation, mais ce n'est pas tout.
Les forces agissant sur les structures telles que les boulons, les supports, les câbles, les entretoises, etc. sont de nature vectorielle et orientées dans l'espace. Afin de connaître son effet, il est nécessaire de connaître son adresse (et aussi son point d'application).
Et fréquemment la direction d'une force est connue en connaissant deux points dans l'espace qui appartiennent à sa ligne d'action. De cette façon, la force est:
F = F u
Où F est l'amplitude ou l' amplitude de la force et u est le vecteur unitaire (module 1) dirigé le long de la ligne d'action F.
Notation et représentations vectorielles 3D
Avant de continuer à résoudre quelques exemples, nous passerons brièvement en revue la notation vectorielle 3D.
Dans l'exemple de la figure 1, le vecteur v, dont le point d'origine coïncide avec l'origine O et dont l'extrémité est le point P, a des coordonnées xyz positives, tandis que la coordonnée y est négative. Ces coordonnées sont: x 1, y 1, z 1, qui sont précisément les coordonnées de P.
Donc si nous avons un vecteur lié à l'origine, c'est-à-dire dont le point de départ coïncide avec O, il est très facile d'indiquer ses coordonnées, qui seront celles du point extrême ou P. Pour distinguer un point et un vecteur, nous utiliserons pour les dernières lettres et crochets en gras, comme ceci:
v = <x 1, y 1, z 1 >
Alors que le point P est noté entre parenthèses:
P = (x 1, y 1, z 1)
Une autre représentation utilise les vecteurs unitaires i, j et k qui définissent les trois directions de l'espace sur les axes x, y et z respectivement.
Ces vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres et forment une base orthonormée (voir figure 2). Cela signifie qu'un vecteur 3D peut être écrit en fonction d'eux comme suit:
v = v x i + v y j + v z k
Angles et cosinus directeurs d'un vecteur
La figure 2 montre également les angles directeurs γ 1, γ 2 et γ 3 que le vecteur v fait respectivement avec les axes x, y et z. Connaissant ces angles et la magnitude du vecteur, il est complètement déterminé. De plus, les cosinus des angles directeurs rencontrent la relation suivante:
(cos γ 1) 2 + (cos γ 2) 2 + (cos γ 3) 2 = 1
Figure 2. Les vecteurs unitaires i, j et k déterminent les 3 directions préférentielles de l'espace. Source: self made.
Exercices résolus
-Exercice 1
Sur la figure 2 les angles γ 1, γ 2 et γ 3 que forme le vecteur v de module 50 avec les axes de coordonnées sont respectivement: 75,0 °, 60,0 ° et 34,3 °. Trouvez les composantes cartésiennes de ce vecteur et représentez-le en termes de vecteurs unitaires i, j et k.
Solution
La projection du vecteur v sur l'axe des x est v x = 50. cos 75º = 12 941. De la même manière, la projection de v sur l'axe y est v y = 50 cos 60 º = 25 et enfin sur l'axe z est v z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Maintenant v peut être exprimé comme:
v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k
-Exercice 2
Trouvez les tensions dans chacun des câbles qui maintiennent le godet dans la figure qui est en équilibre, si son poids est de 30 N.
Figure 3. Diagramme de stress pour l'exercice 2.
Solution
Sur le godet, le diagramme du corps libre indique que T D (vert) compense le poids W (jaune), donc T D = W = 30 N.
Au nœud, le vecteur T D est dirigé verticalement vers le bas, puis:
T D = 30 (- k) N.
Pour établir les tensions restantes, procédez comme suit:
Étape 1: Trouvez les coordonnées de tous les points
A = (4.5,0,3) (A est sur le plan du mur xz)
B = (1,5,0,0) (B est sur l'axe des x)
C = (0, 2,5, 3) (C est sur le plan du mur et z)
D = (1,5, 1,5, 0) (D est sur le plan horizontal xy)
Étape 2: Trouvez les vecteurs dans chaque direction en soustrayant les coordonnées de la fin et du début
DA = <3; -1,5; 3>
DC = <-1,5; une; 3>
DB = <0; -1,5; 0>
Étape 3: Calculez les modules et les vecteurs d'unité
Un vecteur unitaire est obtenu au moyen de l'expression: u = r / r, avec r (en gras) étant le vecteur et r (sans gras) étant le module dudit vecteur.
DA = (3 2 + (-1,5) 2 + 3 2) 1/2 = 4,5; DC = ((-1,5) 2 + 1 2 + 3 2) ½ = 3,5
u DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>
u DC = <-1,5; une; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>
u DB = <0; -une; 0>
u D = <0; 0; -1>
Étape 4: exprimer toutes les contraintes sous forme de vecteurs
T DA = T DA u DA = T DA <0,67; -0,33; 0,67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0,43; 0,29; 0,86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -une; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
Étape 5: Appliquer la condition d'équilibre statique et résoudre le système d'équations
Enfin, la condition d'équilibre statique est appliquée au godet, de sorte que la somme vectorielle de toutes les forces sur le nœud soit nulle:
T DA + T DC + T DB + T D = 0
Puisque les contraintes sont dans l'espace, il en résultera un système de trois équations pour chaque composante (x, y et z) des contraintes.
0,67 T DA -0,43 T DC + 0 T DB = 0
-0,33 T DA + 0,29 T DC - T DB = 0
0,67 T DA + 0,86 T DC +0 T DB - 30 = 0
La solution est: T DA = 14,9 N; T DA = 23,3 N; T DB = 1,82 N
Références
- Bedford, 2000. A. Mécanique du génie: statique. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Série: Physique pour les sciences et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique 31-68.
- Physique. Module 8: Vecteurs. Récupéré de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mécanique pour les ingénieurs. Statique 6e édition. Société d'édition continentale. 15-53.
- Calculatrice d'addition de vecteur. Récupéré de: 1728.org