VARIABLE CONTINUE: CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

La variable continue est celle qui peut prendre un nombre infini de valeurs numériques entre deux valeurs données, même si ces deux valeurs sont arbitrairement proches. Ils sont utilisés pour décrire des attributs mesurables; par exemple la taille et le poids. Les valeurs prises par une variable continue peuvent être des nombres rationnels, des nombres réels ou des nombres complexes, bien que ce dernier cas soit moins fréquent en statistique.

La caractéristique principale des variables continues est qu'entre deux valeurs rationnelles ou réelles une autre peut toujours être trouvée, et entre cette autre et la première une autre valeur peut être trouvée, et ainsi de suite indéfiniment.

Figure 1. La courbe représente une distribution continue et les barres une distribution discrète. Source: pixabay

Par exemple, supposons le poids variable dans un groupe où le plus lourd pèse 95 kg et le plus petit pèse 48 kg; ce serait la plage de la variable et le nombre de valeurs possibles est infini.

Par exemple, entre 50,00 kg et 50,10 kg peut être 50,01. Mais entre 50,00 et 50,01 peut être la mesure 50,005. C'est une variable continue. Par contre, si dans les mesures possibles de poids une précision d'une seule décimale était établie, alors la variable utilisée serait discrète.

Les variables continues appartiennent à la catégorie des variables quantitatives, car elles ont une valeur numérique qui leur est associée. Avec cette valeur numérique, il est possible d'effectuer des opérations mathématiques allant de l'arithmétique aux méthodes de calcul infinitésimales.

Exemples

La plupart des variables en physique sont des variables continues, parmi lesquelles nous pouvons nommer: longueur, temps, vitesse, accélération, énergie, température et autres.

Variables continues et variables discrètes

En statistique, différents types de variables peuvent être définis, à la fois qualitatifs et quantitatifs. Les variables continues appartiennent à cette dernière catégorie. Avec eux, il est possible d'effectuer des opérations d'arithmétique et de calcul.

Par exemple, la variable h, correspondant aux personnes de taille comprise entre 1,50 m et 1,95 m, est une variable continue.

Comparons cette variable à celle-ci: le nombre de fois où un tirage au sort revient en tête, que nous appellerons n.

La variable n peut prendre des valeurs entre 0 et l'infini, cependant n n'est pas une variable continue puisqu'elle ne peut pas prendre la valeur 1.3 ou 1.5, car entre les valeurs 1 et 2 il n'y en a pas d'autre. Ceci est un exemple de variable discrète.

Exercice continu sur les variables

Prenons l'exemple suivant: une machine produit des allumettes et les emballe dans sa boîte. Deux variables statistiques sont définies:

La longueur nominale du match est de 5,0 cm avec une tolérance de 0,1 cm. Le nombre d'allumettes par boîte est de 50 avec une tolérance de 3.

a) Indiquez la plage de valeurs que L et N peuvent prendre.

b) Combien de valeurs L peut-il prendre?

c) Combien de valeurs n peut-il prendre?

Indiquez dans chaque cas s'il s'agit d'une variable discrète ou continue.

Solution

Les valeurs de L sont dans la plage; autrement dit, la valeur de L est dans l'intervalle et la variable L peut prendre des valeurs infinies entre ces deux mesures. C'est alors une variable continue.

La valeur de la variable n est dans l'intervalle. La variable n ne peut prendre que 6 valeurs possibles dans l'intervalle de tolérance, c'est alors une variable discrète.

Exercice de

Si, en plus d'être continues, les valeurs prises par la variable ont une certaine probabilité d'occurrence qui leur est associée, alors c'est une variable aléatoire continue. Il est très important de distinguer si la variable est discrète ou continue, car les modèles probabilistes applicables à l'un et à l'autre sont différents.

Une variable aléatoire continue est complètement définie lorsque les valeurs qu'elle peut supposer et la probabilité que chacune d'elles a de se produire sont connues.

-Exercice 1 des probabilités

L'entremetteur les fait de telle manière que la longueur des bâtons soit toujours comprise entre les valeurs 4,9 cm et 5,1 cm, et zéro en dehors de ces valeurs. Il y a une probabilité d'obtenir un bâton qui mesure entre 5,00 et 5,05 cm, bien que nous puissions également en extraire un de 5 0003 cm. Ces valeurs sont-elles également probables?

Solution

Supposons que la densité de probabilité soit uniforme. Les probabilités de trouver une correspondance d'une certaine longueur sont énumérées ci-dessous:

-Une correspondance est dans la plage a une probabilité = 1 (ou 100%), car la machine ne dessine pas de correspondances en dehors de ces valeurs.

-Trouver une correspondance entre 4,9 et 5,0 a une probabilité = ½ = 0,5 (50%), car c'est la moitié de la plage de longueurs.

-Et la probabilité que le match ait une durée comprise entre 5,0 et 5,1 est également de 0,5 (50%)

-Il est connu qu'il n'y a pas de bâtons d'allumettes d'une longueur comprise entre 5,0 et 5,2. Probabilité: zéro (0%).

Probabilité de trouver un cure-dent dans une certaine plage

Observons maintenant les probabilités P suivantes d'obtenir des bâtons dont la longueur est comprise entre l ₁ et l ₂:

-P qu'une correspondance a une longueur comprise entre 5,00 et 5,05 est noté P ():

-P que la colline a une longueur comprise entre 5,00 et 5,01 est:

-P que la colline a une longueur comprise entre 5000 et 5001 est encore moins:

Si nous continuons à diminuer l'intervalle pour nous rapprocher de plus en plus de 5,00, la probabilité qu'un cure-dent fasse exactement 5,00 cm est nulle (0%). Ce que nous avons, c'est la probabilité de trouver une correspondance dans une certaine fourchette.

Probabilité de trouver plusieurs cure-dents dans une plage donnée

Si les événements sont indépendants, la probabilité que deux cure-dents soient dans une certaine fourchette est le produit de leurs probabilités.

-La probabilité que deux baguettes soient comprises entre 5,0 et 5,1 est de 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-La probabilité que 50 cure-dents soient compris entre 5,0 et 5,1 est (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, c'est-à-dire quasiment nulle.

-La probabilité que 50 cure-dents soient entre 4,9 et 5,1 est (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Exercice 2 de probabilités

Dans l'exemple précédent, on a fait l'hypothèse que la probabilité est uniforme dans l'intervalle donné, mais ce n'est pas toujours le cas.

Dans le cas de la machine qui produit les cure-dents, la probabilité que le cure-dent soit à la valeur centrale est plus grande qu'elle ne l'est à l'une des valeurs extrêmes. D'un point de vue mathématique, cela est modélisé avec une fonction f (x) connue sous le nom de densité de probabilité.

La probabilité que la mesure L soit comprise entre a et b est calculée en utilisant l'intégrale définie de la fonction f (x) entre a et b.

A titre d'exemple, supposons que l'on veuille trouver la fonction f (x), qui représente une distribution uniforme entre les valeurs 4.9 et 5.1 de l'exercice 1.

Si la distribution de probabilité est uniforme, alors f (x) est égale à la constante c, qui est déterminée en prenant l'intégrale entre 4,9 et 5,1 de c. Puisque cette intégrale est la probabilité, alors le résultat doit être 1.

Figure 2. Densité de probabilité uniforme. (Élaboration propre)

Ce qui signifie que c vaut 1 / 0,2 = 5. Autrement dit, la fonction de densité de probabilité uniforme est f (x) = {5 si 4,9≤x≤5,1 et 0 en dehors de cette plage. Une fonction de densité de probabilité uniforme est illustrée à la figure 2.

Notez comment dans des intervalles de même largeur (par exemple 0,02) la probabilité est la même au centre qu'à la fin de la plage de la variable continue L (longueur du cure-dent).

Un modèle plus réaliste serait une fonction de densité de probabilité comme la suivante:

Figure 3. Fonction de densité de probabilité non uniforme. (Élaboration propre)

Sur la figure 3, on peut voir comment la probabilité de trouver des cure-dents entre 4,99 et 5,01 (largeur 0,02) est supérieure à celle de trouver des cure-dents entre 4,90 et 4,92 (largeur 0,02)

Références

1. Dinov, Ivo. Variables aléatoires discrètes et distributions de probabilité. Récupéré de: stat.ucla.edu
2. Variables aléatoires discrètes et continues. Récupéré de: ocw.mit.edu
3. Variables aléatoires discrètes et distributions de probabilité. Récupéré de: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introduction à la probabilité. Récupéré de: probabilité course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistiques de gestion et d'économie. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Problèmes de variables aléatoires et modèles de probabilité. Récupéré de: ugr.es.
7. Wikipédia. Variable continue. Récupéré de wikipedia.com
8. Wikipédia. Variable statistique. Récupéré de wikipedia.com.