ÓVALO (FIGURE GÉOMÉTRIQUE): CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

L' ovale symétrique est défini comme une courbe plate et fermée, qui a deux axes de symétrie perpendiculaires -un majeur et un mineur- et se compose de deux arcs circonférentiels égaux deux à deux.

De cette façon, il peut être dessiné à l'aide d'une boussole et de quelques points de référence sur l'une des lignes de symétrie. Dans tous les cas, il existe plusieurs façons de le dessiner, comme nous le verrons plus tard.

Figure 1. Vue du Colisée à Rome, un exemple de forme ovale en architecture. Source: Pixabay.

C'est une courbe très familière, puisqu'elle est reconnue comme le contour d'une ellipse, ceci étant un cas particulier de l'ovale. Mais l'ovale n'est pas une ellipse, même s'il est parfois très similaire, car ses propriétés et sa disposition diffèrent. Par exemple, l'ellipse n'est pas construite avec une boussole.

caractéristiques

L'ovale a des applications très variées: l'architecture, l'industrie, le graphisme, l'horlogerie et la joaillerie ne sont que quelques domaines où son utilisation se démarque.

Les caractéristiques les plus remarquables de cette courbe importante sont les suivantes:

-Il appartient au groupe des courbes techniques: il est dessiné en formant des arcs circonférentiels à l'aide d'une boussole.

-Tous ses points sont sur le même plan.

-Manque de courbes ou de liens.

-Son chemin est continu.

-La courbe de l'ovale doit être lisse et convexe.

-Lorsque vous tracez une ligne tangente à l'ovale, tout est du même côté de la ligne.

-Un ovale n'admet au plus que deux tangentes parallèles.

Exemples

Il existe plusieurs méthodes de construction d'ovales qui nécessitent l'utilisation d'une règle, d'un carré et d'une boussole. Ensuite, nous allons mentionner certains des plus utilisés.

Construction d'un ovale à l'aide de cercles concentriques

Figure 2. Comment dessiner un ovale en utilisant deux cercles concentriques. Source: Wikimedia Commons. Kmhkmh

La figure 2 ci-dessus montre deux cercles concentriques centrés à l'origine. Le grand axe de l'ovale mesure le même que le diamètre de la circonférence extérieure, tandis que le petit axe correspond au diamètre de la circonférence intérieure.

-Un rayon arbitraire est dessiné jusqu'à la circonférence extérieure, qui coupe les deux cercles aux points P ₁ et P ₂.

-Le point P ₂ est ensuite projeté sur l'axe horizontal.

-De manière similaire, le point P ₁ est projeté sur l'axe vertical.

-L'intersection des deux lignes de projection est le point P et appartient à l'ovale.

-Tous les points de cette section de l'ovale peuvent être tracés de cette manière.

-Le reste de l'ovale est tracé avec la procédure analogue, effectuée dans chaque quadrant.

Exercices

Ensuite, d'autres manières de construire des ovales seront examinées, étant donné une certaine mesure initiale, qui déterminera leur taille.

- Exercice 1

À l'aide de la règle et de la boussole, dessinez un ovale, appelé son grand axe, dont la longueur est de 9 cm.

Solution

Sur la figure 3, illustrée ci-dessous, l'ovale résultant apparaît en rouge. Une attention particulière doit être portée aux lignes pointillées, qui sont les constructions auxiliaires nécessaires pour dessiner un ovale dont le grand axe est spécifié. Nous allons indiquer toutes les étapes nécessaires pour atteindre le dessin final.

Figure 3. Construction d'un ovale compte tenu de son axe majeur. Source: F. Zapata.

Étape 1

Dessinez avec une règle le segment AB de 9 cm.

Étape 2

Trisectez le segment AB, c'est-à-dire divisez-le en trois segments d'égale longueur. Comme le segment d'origine AB est de 9 cm, les segments AC, CD et DB doivent mesurer chacun 3 cm.

Étape 3

Avec la boussole, centrage en C et ouverture CA, une circonférence auxiliaire est dessinée. De même, la circonférence auxiliaire de centre D et de rayon DB est dessinée avec la boussole.

Étape 4

Les intersections des deux cercles auxiliaires construits à l'étape précédente sont marquées. Nous l'appelons les points E et F.

Étape 5

Avec la règle, les rayons suivants sont dessinés: [FC), [FD), [EC), [ED).

Étape 6

Les rayons de l'étape précédente coupent les deux cercles auxiliaires aux points G, H, I, J respectivement.

Étape 7

Avec le centre de la boussole est fait en F et avec l'ouverture (ou rayon) FG l'arc GH est dessiné. De même, en centrant en E et en rayon EI, l'arc IJ est dessiné.

Étape 8

L'union des arcades GJ, JI, IH et HG forme un ovale dont le grand axe mesure 9 cm.

Étape 9

Nous procédons à effacer (masquer) les points et les lignes auxiliaires.

- Exercice 2

Dessinez un ovale avec une règle et une boussole, dont le petit axe est connu et sa mesure est de 6 cm.

Solution

Figure 4. Construction d'un ovale compte tenu de son petit axe. Source: F. Zapata.

La figure ci-dessus (figure 4) montre le résultat final de la construction de l'ovale (en rouge), ainsi que les constructions intermédiaires nécessaires pour y accéder. Les étapes qui ont été suivies pour construire l'ovale de petit axe de 6 cm étaient les suivantes:

Étape 1

Le segment AB de 6 cm de long est tracé avec la règle.

Étape 2

Avec la boussole et la règle, la bissectrice est tracée jusqu'au segment AB.

Étape 3

L'intersection de la bissectrice avec le segment AB se traduit par le point médian C du segment AB.

Étape 4

Avec la boussole, la circonférence du centre C et le rayon CA sont dessinés.

Étape 5

La circonférence tracée à l'étape précédente coupe la bissectrice de AB aux points E et D.

Étape 6

Les rayons [AD), [AE), [BD) et [BE) sont tracés.

Étape 7

Avec la boussole, les cercles du centre A et du rayon AB et celui du centre B et du rayon BA sont dessinés.

Étape 8

Les intersections des cercles dessinés à l'étape 7, avec les rayons construits à l'étape 6, déterminent quatre points, à savoir: F, G, H, I.

Étape 9

Avec le centre en D et le rayon DI, l'arc IF est dessiné. De la même manière, avec centre en E et rayon EG, l'arc GH est dessiné.

Étape 10

L'union des arcs de circonférence FG, GH, HI et IF détermine l'ovale souhaité.

Références

1. Ed Plastic. Courbes techniques: ovales, ovoïdes et spirales. Récupéré de: drajonavarres.wordpress.com.
2. Mathematische Basteleien. Courbes et ovales d'oeufs. Récupéré de: mathematische-basteleien.
3. Université de Valence. Coniques et courbes techniques plates. Récupéré de: ocw.uv.es.
4. Wikipédia. Ovale. Récupéré de: es.wikipedia.org.
5. Wikipédia. Ovale. Récupéré de: en.wikipedia.org.