TRIANGLE ISOCÈLE: CARACTÉRISTIQUES, FORMULE ET AIRE, CALCUL - MATEMATIQUES - 2025

Un triangle isocèle est un polygone à trois côtés, où deux d'entre eux ont la même mesure et le troisième côté une mesure différente. Ce dernier côté s'appelle la base. En raison de cette caractéristique, il a reçu ce nom, qui en grec signifie «jambes égales»

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont composés de trois côtés, trois angles et trois sommets. Ce sont eux qui ont le moins de côtés et d'angles par rapport aux autres polygones, mais leur utilisation est très étendue.

Caractéristiques des triangles isocèles

Le triangle isocèle a été classé en utilisant la mesure de ses côtés comme paramètre, puisque deux de ses côtés sont congruents (ils ont la même longueur).

Sur la base de l'amplitude des angles intérieurs, les triangles isocèles sont classés comme suit:

• Triangle rectangle isocèle: deux de ses côtés sont égaux. Un coin est droit (90 ^ou) et les autres sont les mêmes (45 ^ou chacun)
• Triangle obtus isocèle: deux de ses côtés sont égaux. L'un des angles est obtus (> 90 ^ou).
• Triangle aigu isocèle: deux de ses côtés sont égaux. Tous les angles sont aigus (<90 ^ou) où les deux ont la même mesure.

Composants

• La médiane: c'est une ligne qui part du milieu d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médianes se rencontrent en un point appelé barycentre ou centroïde.
• La bissectrice: c'est un rayon qui divise l'angle de chaque sommet en deux angles d'égale mesure. C'est pourquoi il est connu sous le nom d'axe de symétrie et ce type de triangles n'en a qu'un.
• La bissectrice: c'est un segment perpendiculaire au côté du triangle, qui a son origine au milieu de celui-ci. Il y a trois médiateurs dans un triangle et ils se rencontrent en un point appelé le circumcenter.
• La hauteur: c'est la ligne qui va du sommet au côté opposé et aussi cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs, qui coïncident en un point appelé orthocentre.

Propriétés

Les triangles isocèles sont définis ou identifiés car ils ont plusieurs propriétés qui les représentent, issues des théorèmes proposés par les grands mathématiciens:

Angles internes

La somme des angles intérieurs est toujours égale à 180 ^°.

Somme des côtés

La somme des mesures de deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, a + b> c.

Côtés congruents

Les triangles isocèles ont deux côtés de même mesure ou longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents et le troisième côté est différent de ceux-ci.

Angles congruents

Les triangles isocèles sont également appelés triangles isoangle, car ils ont deux angles qui ont la même mesure (congruents). Ceux-ci sont situés à la base du triangle, à l'opposé des côtés de même longueur.

Pour cette raison, le théorème a été généré qui déclare que:

"Si un triangle a deux côtés congruents, les angles opposés à ces côtés seront également congruents." Par conséquent, si un triangle est isocèle, les angles de ses bases sont congruents.

Exemple:

La figure suivante montre un triangle ABC. En tirant sa bissectrice du sommet de l'angle B à la base, le triangle est divisé en deux triangles égaux BDA et BDC:

De cette manière, l'angle du sommet B a également été divisé en deux angles égaux. La bissectrice est maintenant le côté commun (BD) entre ces deux nouveaux triangles, tandis que les côtés AB et BC sont les côtés congruents. On a donc le cas de la congruence côté, angle, côté (LAL).

Cela montre que les angles des sommets A et C ont la même mesure, et on peut également montrer que puisque les triangles BDA et BDC sont congruents, les côtés AD et DC sont également congruents.

La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice coïncident

La ligne qui est tracée du sommet opposé à la base au milieu de la base du triangle isocèle, est à la fois la hauteur, la médiane et la bissectrice, ainsi que la bissectrice par rapport à l'angle opposé de la base.

Tous ces segments coïncident en un seul qui les représente.

Exemple:

La figure suivante montre le triangle ABC avec un point médian M qui divise la base en deux segments BM et CM.

En dessinant un segment du point M au sommet opposé, on obtient par définition la médiane AM, qui est relative au sommet A et au côté BC.

Comme le segment AM divise le triangle ABC en deux triangles égaux AMB et AMC, cela signifie que le cas de congruence côté, angle, côté sera eu et donc AM sera également la bissectrice de BÂC.

Par conséquent, la bissectrice sera toujours égale à la médiane et vice versa.

Le segment AM forme des angles qui ont la même mesure pour les triangles AMB et AMC; c'est-à-dire qu'ils sont complémentaires de telle sorte que la mesure de chacun sera:

Méd. (AMB) + Méd. (AMC) = 180 ^ou

2 _* Med. (AMC) = 180 ^ou

Med. (AMC) = 180 ^ou ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^ou

On sait que les angles formés par le segment AM par rapport à la base du triangle sont droits, ce qui indique que ce segment est totalement perpendiculaire à la base.

Il représente donc la hauteur et la bissectrice, sachant que M est le point médian.

Par conséquent, la ligne AM:

• Représente à la hauteur de BC.
• Est de taille moyenne.
• Il est contenu dans la bissectrice de BC.
• C'est la bissectrice de l'angle au sommet Â

Hauteurs relatives

Les hauteurs relatives à des côtés égaux ont également la même mesure.

Le triangle isocèle ayant deux côtés égaux, leurs deux hauteurs respectives seront également égales.

Ortocenter, barycenter, incenter et circumcenter coïncident

Comme la hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice par rapport à la base, sont représentées en même temps par le même segment, l'orthocentre, le barycenter et le circumcenter seront des points colinéaires, c'est-à-dire qu'ils se trouveront sur la même ligne:

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé en ajoutant les côtés.

Comme dans ce cas le triangle isocèle a deux côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:

P = 2 _* (côté a) + (côté b).

Comment calculer la hauteur?

La hauteur est la ligne perpendiculaire à la base, elle divise le triangle en deux parties égales en se prolongeant vers le sommet opposé.

La hauteur représente la jambe opposée (a), le milieu de la base (b / 2) la jambe adjacente et le côté «a» représente l'hypoténuse.

En utilisant le théorème de Pythagore, la valeur de la hauteur peut être déterminée:

a ² + b ² = c ²

Où:

a ² = hauteur (h).

b ² = b / 2.

c ² = côté a.

En substituant ces valeurs dans le théorème de Pythagore et en résolvant la hauteur, nous avons:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = un ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Si l'angle formé par les côtés congruents est connu, la hauteur peut être calculée avec la formule suivante:

Comment calculer la superficie?

L'aire des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:

Il existe des cas où seules les mesures de deux côtés du triangle et l'angle formé entre eux sont connus. Dans ce cas, pour déterminer la surface, il est nécessaire d'appliquer les rapports trigonométriques:

Comment calculer la base du triangle?

Puisque le triangle isocèle a deux côtés égaux, pour déterminer la valeur de sa base, vous devez connaître au moins la mesure de la hauteur ou l'un de ses angles.

Connaissant la hauteur, le théorème de Pythagore est utilisé:

a ² + b ² = c ²

Où:

a ² = hauteur (h).

c ² = côté a.

b ² = b / 2, est inconnu.

On isole b ² de la formule et on a:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Puisque cette valeur correspond à la moitié de la base, elle doit être multipliée par deux pour obtenir la mesure complète de la base du triangle isocèle:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

Dans le cas où seule la valeur de ses côtés égaux et l'angle entre eux sont connus, la trigonométrie est appliquée, en traçant une ligne du sommet à la base qui divise le triangle isocèle en deux triangles rectangles.

De cette façon, la moitié de la base est calculée avec:

Il est également possible que seuls la valeur de la hauteur et de l'angle du sommet opposé à la base soient connus. Dans ce cas, par trigonométrie, la base peut être déterminée:

Exercices

Premier exercice

Trouvez l'aire du triangle isocèle ABC, sachant que deux de ses côtés font 10 cm et le troisième côté 12 cm.

Solution

Pour trouver l'aire du triangle, il est nécessaire de calculer la hauteur en utilisant la formule d'aire qui est liée au théorème de Pythagore, car la valeur de l'angle formé entre les côtés égaux n'est pas connue.

Nous avons les données suivantes du triangle isocèle:

• Côtés égaux (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

Les valeurs sont substituées dans la formule:

Deuxième exercice

La longueur des deux côtés égaux d'un triangle isocèle est de 42 cm, l'union de ces côtés forme un angle de 130 ^ou. Déterminez la valeur du troisième côté, l'aire de ce triangle et le périmètre.

Solution

Dans ce cas, les mesures des côtés et l'angle entre eux sont connus.

Pour connaître la valeur du côté manquant, c'est-à-dire la base de ce triangle, une ligne perpendiculaire à celui-ci est dessinée, divisant l'angle en deux parties égales, une pour chaque triangle rectangle formé.

• Côtés égaux (a) = 42 cm.
• Angle (Ɵ) = 130 ^o

Maintenant, par trigonométrie, la valeur de la moitié de la base est calculée, ce qui correspond à la moitié de l'hypoténuse:

Pour calculer l'aire, il est nécessaire de connaître la hauteur de ce triangle, qui peut être calculée par trigonométrie ou par le théorème de Pythagore, maintenant que la valeur de la base a déjà été déterminée.

Par trigonométrie ce sera:

Le périmètre est calculé:

P = 2 _* (côté a) + (côté b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Troisième exercice

Calculez les angles internes du triangle isocèle, sachant que l'angle de la base est  = 55 ^ou

Solution

Pour trouver les deux angles manquants (Ê et Ô), il faut se souvenir de deux propriétés des triangles:

• La somme des angles internes de chaque triangle sera toujours = 180 ^ou:

 + Ê + Ô = 180 ^ou

• Dans un triangle isocèle les angles de la base sont toujours congruents, c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure, donc:

 = Ô

Ê = 55 ^ou

Pour déterminer la valeur de l'angle Ê, nous substituons les valeurs des autres angles dans la première règle et résolvons pour Ê:

55 ^ou + 55 ^ou + Ô = 180 ^ou

110 ^ou + Ô = 180 ^ou

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Références

1. Álvarez, E. (2003). Éléments de géométrie: avec de nombreux exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Dessin technique: carnet d'activités.
3. Angel, AR (2007). Algèbre élémentaire. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algèbre. La Havane: Culture.
6. José Jiménez, LJ (2006). Mathématiques 2.
7. Tuma, J. (1998). Manuel de mathématiques de l'ingénieur. Wolfram MathWorld.