TRIANGLE SCALÈNE: CARACTÉRISTIQUES, FORMULE ET AIRES, CALCUL - MATEMATIQUES - 2025

Un triangle scalène est un polygone à trois côtés, qui ont tous des mesures ou des longueurs différentes; c'est pourquoi on lui donne le nom de scalène, qui en latin signifie escalade.

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont composés de trois côtés, trois angles et trois sommets. Dans le cas du triangle scalène, en ayant tous les côtés différents, cela implique que ses trois angles le seront aussi.

Caractéristiques des triangles scalènes

Les triangles scalènes sont de simples polygones car aucun de leurs côtés ou angles n'a la même mesure, contrairement aux triangles isocèles et équilatéraux.

Parce que tous leurs côtés et angles ont des mesures différentes, ces triangles sont considérés comme des polygones convexes irréguliers.

Sur la base de l'amplitude des angles internes, les triangles scalènes sont classés comme suit:

• Triangle rectangle scalène: tous les côtés sont différents. L'un de ses angles est droit (90 ^ou) et les autres sont nets et de mesures différentes.
• Triangle scalène obtus: tous les côtés sont différents et l'un de ses angles est obtus (> 90 ^ou).
• Triangle aigu scalène: tous les côtés sont différents. Tous les angles sont aigus (<90 ^ou) avec des mesures différentes.

Une autre caractéristique des triangles scalènes est qu'en raison de l'incongruité de leurs côtés et de leurs angles, ils n'ont pas d'axe de symétrie.

Composants

La médiane: c'est une ligne qui part du milieu d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médianes se rencontrent en un point appelé barycentre ou centroïde.

La bissectrice: c'est un rayon qui divise chaque angle en deux angles d'égale mesure. Les bissectrices d'un triangle se rencontrent en un point appelé l'incitateur.

La bissectrice: c'est un segment perpendiculaire au côté du triangle, qui a son origine au milieu de celui-ci. Il y a trois bissectrices dans un triangle et elles se rencontrent en un point appelé le circumcenter.

La hauteur: c'est la ligne qui va du sommet au côté opposé et aussi cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs qui coïncident en un point appelé orthocentre.

Propriétés

Les triangles scalènes sont définis ou identifiés car ils ont plusieurs propriétés qui les représentent, provenant des théorèmes proposés par les grands mathématiciens. Elles sont:

Angles internes

La somme des angles intérieurs est toujours égale à 180 ^°.

Somme des côtés

La somme des mesures de deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, a + b> c.

Côtés incongrus

Tous les côtés des triangles scalènes ont des mesures ou des longueurs différentes; c'est-à-dire qu'ils sont incongrus.

Angles incongrus

Puisque tous les côtés du triangle scalène sont différents, ses angles le seront aussi. Cependant, la somme des angles internes sera toujours égale à 180 °, et dans certains cas, l'un de ses angles peut être obtus ou droit, tandis que dans d'autres, tous ses angles seront aigus.

La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice ne coïncident pas

Comme tout triangle, le scalène a divers segments de ligne qui le composent, tels que: hauteur, médiane, bissectrice et bissectrice.

En raison de la particularité de ses côtés, dans ce type de triangle aucune de ces lignes ne coïncidera en une seule.

Orthocentre, barycenter, incenter et circumcenter ne coïncident pas

Comme la hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice sont représentées par des segments de ligne différents, dans un triangle scalène, les points de rencontre - l'orthocentre, l'incenteur et le circumcenter - se trouveront en différents points (ils ne coïncident pas).

Selon que le triangle est aigu, droit ou scalène, l'orthocentre a différents emplacements:

à. Si le triangle est aigu, l'orthocentre sera à l'intérieur du triangle.

b. Si le triangle est droit, l'orthocentre coïncidera avec le sommet du côté droit.

c. Si le triangle est obtus, l'orthocentre sera à l'extérieur du triangle.

Hauteurs relatives

Les hauteurs sont relatives aux côtés.

Dans le cas du triangle scalène, ces hauteurs auront des mesures différentes. Chaque triangle a trois hauteurs relatives et la formule de Heron est utilisée pour les calculer.

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé en ajoutant les côtés.

Puisque dans ce cas le triangle scalène a tous ses côtés avec des mesures différentes, son périmètre sera:

P = côté a + côté b + côté c.

Comment calculer la superficie?

L'aire des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:

Aire = (base _* h) ÷ 2

Dans certains cas, la hauteur du triangle scalène n'est pas connue, mais il existe une formule qui a été proposée par le mathématicien Herón, pour calculer l'aire en connaissant la mesure des trois côtés d'un triangle.

Où:

• a, b et c représentent les côtés du triangle.
• sp, correspond au demi-périmètre du triangle, c'est-à-dire à la moitié du périmètre:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Dans le cas où nous n'avons que la mesure de deux des côtés du triangle et l'angle formé entre eux, l'aire peut être calculée en appliquant les rapports trigonométriques. Il faut donc:

Aire = (côté _* h) ÷ 2

Où la hauteur (h) est le produit d'un côté et le sinus de l'angle opposé. Par exemple, pour chaque côté, la zone sera:

• Aire = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Aire = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Aire = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Comment calculer la hauteur?

Puisque tous les côtés du triangle scalène sont différents, il n'est pas possible de calculer la hauteur avec le théorème de Pythagore.

À partir de la formule de Heron, qui est basée sur les mesures des trois côtés d'un triangle, l'aire peut être calculée.

La hauteur peut être effacée de la formule générale de l'aire:

Le côté est remplacé par la mesure du côté a, b ou c.

Une autre façon de calculer la hauteur lorsque la valeur de l'un des angles est connue, consiste à appliquer les rapports trigonométriques, où la hauteur représentera une jambe du triangle.

Par exemple, lorsque l'angle opposé à la hauteur est connu, il sera déterminé par le sinus:

Comment calculer les côtés?

Lorsque vous avez la mesure de deux côtés et l'angle opposé à eux, il est possible de déterminer le troisième côté en appliquant le théorème du cosinus.

Par exemple, dans un triangle AB, la hauteur par rapport au segment AC est tracée. De cette façon, le triangle est divisé en deux triangles rectangles.

Pour calculer le côté c (segment AB), appliquez le théorème de Pythagore pour chaque triangle:

• Pour le triangle bleu, nous avons:

c ² = h ² + m ²

Puisque m = b - n, nous substituons:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ².

• Pour le triangle rose, vous devez:

h ² = a ² - n ²

Il est remplacé dans l'équation précédente:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 milliards.

Sachant que n = a _* cos C, il est substitué dans l'équation précédente et la valeur du côté c est obtenue:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Selon la loi des cosinus, les côtés peuvent être calculés comme suit:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Il y a des cas où les mesures des côtés du triangle ne sont pas connues, mais plutôt leur hauteur et les angles formés aux sommets. Pour déterminer l'aire dans ces cas, il est nécessaire d'appliquer les rapports trigonométriques.

Connaissant l'angle de l'un de ses sommets, les jambes sont identifiées et le rapport trigonométrique correspondant est utilisé:

Par exemple, la jambe AB sera opposée pour l'angle C, mais adjacente à l'angle A. Selon le côté ou la jambe correspondant à la hauteur, l'autre côté est dégagé pour obtenir la valeur de celui-ci.

Exercices

Premier exercice

Calculez l'aire et une hauteur du triangle scalène ABC, sachant que ses côtés sont:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Solution

En tant que données, les mesures des trois côtés du triangle scalène sont données.

La valeur de la hauteur n'étant pas disponible, la zone peut être déterminée en appliquant la formule de Heron.

Tout d'abord, le demi-mètre est calculé:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Maintenant, les valeurs sont remplacées dans la formule de Heron:

Connaissant la zone, la hauteur par rapport au côté b peut être calculée. De la formule générale, en la clarifiant, nous avons:

Aire = (côté _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Deuxième exercice

Étant donné le triangle scalène ABC, dont les mesures sont:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Au sommet B, un angle de 50 ° est formé. Calculez la hauteur par rapport au côté c, au périmètre et à l'aire de ce triangle.

Solution

Dans ce cas, nous avons les mesures de deux côtés. Pour déterminer la hauteur, il est nécessaire de calculer la mesure du troisième côté.

Puisque l'angle opposé aux côtés donnés est donné, il est possible d'appliquer la loi des cosinus pour déterminer la mesure du côté AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Où:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Les données sont remplacées:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482 025)

b ² = 367,985

b = √367 985

b = 19,18 m.

Puisque nous avons déjà la valeur des trois côtés, le périmètre de ce triangle est calculé:

P = côté a + côté b + côté c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Il est maintenant possible de déterminer la surface en appliquant la formule de Heron, mais d'abord le demi-diamètre doit être calculé:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Les mesures des côtés et du demi-mètre sont substituées dans la formule de Heron:

Connaissant enfin la surface, la hauteur par rapport au côté c peut être calculée. À partir de la formule générale, en l'effaçant, vous devez:

Aire = (côté _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Troisième exercice

Dans le triangle scalène ABC, le côté b est de 40 cm, le côté c est de 22 cm et au sommet A, un angle 90 est formé ^ou. Calculez l'aire de ce triangle.

Solution

Dans ce cas, les mesures des deux côtés du triangle scalène ABC sont données, ainsi que l'angle formé au sommet A.

Pour déterminer l'aire, il n'est pas nécessaire de calculer la mesure du côté a, car grâce aux rapports trigonométriques, l'angle est utilisé pour le trouver.

Puisque l'angle opposé à la hauteur est connu, il sera déterminé par le produit d'un côté et du sinus de l'angle.

En remplaçant dans la formule d'aire, nous avons:

• Aire = (côté _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Aire = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Aire = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Aire = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Aire = 880 cm ² ÷ 2

Superficie = 440 cm ².

Références

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