TRAJECTOIRE EN PHYSIQUE: CARACTÉRISTIQUES, TYPES, EXEMPLES ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2024

La trajectoire en physique est la courbe que décrit un mobile en passant par des points successifs au cours de son mouvement. Puisqu'il peut prendre de nombreuses variantes, les trajectoires que le mobile peut suivre le seront également.

Pour se rendre d'un endroit à un autre, une personne peut emprunter différents chemins et différentes manières: à pied à travers les trottoirs dans les rues et les avenues, ou en arrivant en voiture ou à moto sur une autoroute. Lors d'une promenade à travers la forêt, le randonneur peut suivre un chemin compliqué qui comprend des virages, monter ou descendre en niveau et même passer plusieurs fois par le même point.

Figure 1. En réunissant les points d'extrémité de chaque vecteur de position, le chemin suivi par la particule est obtenu. Source: Algarabia

Si les points par lesquels le mobile se déplace suivent une ligne droite, la trajectoire sera rectiligne. C'est le chemin le plus simple, car il est unidimensionnel. La spécification de la position nécessite une seule coordonnée.

Mais le mobile peut suivre un chemin curviligne, pouvant être fermé ou ouvert. Dans ces cas, le suivi de la position nécessite deux ou trois coordonnées. Ce sont des mouvements dans le plan et dans l'espace respectivement. Cela a à voir avec les liens: limiter les conditions matérielles de mouvement. Quelques exemples sont:

- Les orbites qui décrivent les planètes autour du soleil sont des trajectoires fermées en forme d'ellipse. Bien que, dans certains cas, ils puissent être approximés à une circulaire, comme dans le cas de la Terre.

- Le ballon que le gardien frappe lors d'un coup de pied de but suit une trajectoire parabolique.

- Un oiseau en vol décrit des trajectoires curvilignes dans l'espace, car en plus de se déplacer dans un avion, il peut monter ou descendre de niveau à volonté.

La trajectoire en physique peut être exprimée mathématiquement lorsque la position du mobile est connue à tout instant. Soit r le vecteur de position, qui à son tour a les coordonnées x, y et z dans le cas le plus général d'un mouvement tridimensionnel. Connaissant la fonction r (t), la trajectoire sera complètement déterminée.

Les types

De manière générale, la trajectoire peut être une courbe assez compliquée, surtout si vous souhaitez l'exprimer mathématiquement. Pour cette raison, nous commençons avec les modèles les plus simples, où les mobiles voyagent en ligne droite ou dans un avion, qui peut être le sol ou tout autre convenable:

Mouvements en une, deux et trois dimensions

Les trajectoires les plus étudiées sont:

- Rectiligne, lors d'un déplacement sur une ligne droite horizontale, verticale ou inclinée. Une balle lancée verticalement vers le haut suit ce chemin, ou un objet glissant sur une pente suit. Ce sont des mouvements unidimensionnels, une seule coordonnée suffit à déterminer complètement leur position.

- Parabolique, dans lequel le mobile décrit un arc de parabole. Elle est fréquente, car tout objet projeté obliquement sous l'action de la gravité (un projectile) suit cette trajectoire. Pour spécifier la position du mobile, vous devez donner deux coordonnées: x et y.

- Circulaire, se produit lorsque la particule en mouvement suit un cercle. Il est également courant dans la nature et dans la pratique quotidienne. De nombreux objets du quotidien suivent un chemin circulaire comme les pneus, les pièces de machines et les satellites en orbite, pour n'en nommer que quelques-uns.

- Elliptique, l'objet se déplace suivant une ellipse. Comme dit au début, c'est le chemin suivi par les planètes en orbite autour du soleil.

- Les objets hyperboliques, astronomiques sous l'action d'une force centrale (gravité), peuvent suivre des trajectoires elliptiques (fermées) ou hyperboliques (ouvertes), celles-ci étant moins fréquentes que les précédentes.

- Mouvement hélicoïdal, ou spiralé, comme celui d'un oiseau montant dans un courant thermique.

- Balancement ou pendule, le mobile décrit un arc en va-et-vient.

Exemples

Les trajectoires décrites dans la section précédente sont très utiles pour avoir rapidement une idée de la façon dont un objet se déplace. Dans tous les cas, il est nécessaire de préciser que la trajectoire d'un mobile dépend de la localisation de l'observateur. Cela signifie que le même événement peut être vu de différentes manières, selon l'endroit où se trouve chaque personne.

Par exemple, une fille pédale à une vitesse constante et lance une balle vers le haut. Elle observe que la balle décrit une trajectoire rectiligne.

Cependant, pour un observateur debout sur la route qui la voit passer, la balle aura un mouvement parabolique. Pour lui, le ballon était initialement lancé avec une vitesse inclinée, résultat de la vitesse à la hausse de la main de la fille plus la vitesse du vélo.

Figure 2. Cette animation montre le lancer vertical d'une balle faite par une jeune fille à bicyclette, telle qu'elle la voit (trajectoire rectiligne) et comme l'observateur la voit (trajectoire parabolique). (Préparé par F. Zapata).

Chemin d'un mobile de manière explicite, implicite et paramétrique

- Explicite, spécifiant directement la courbe ou le lieu donné par l'équation y (x)

- Implicite, dans laquelle une courbe est exprimée par f (x, y, z) = 0

- Paramétrique, de cette manière les coordonnées x, y et z sont données en fonction d'un paramètre qui, en général, est choisi comme temps t. Dans ce cas, la trajectoire est composée des fonctions: x (t), y (t) et z (t).

Ensuite, deux trajectoires largement étudiées en cinématique sont détaillées: la trajectoire parabolique et la trajectoire circulaire.

Lancement incliné dans le vide

Un objet (le projectile) est projeté à un angle a avec l'horizontale et avec une vitesse initiale v _o comme indiqué sur la figure. La résistance à l'air n'est pas prise en compte. Le mouvement peut être traité comme deux mouvements indépendants et simultanés: l'un horizontal à vitesse constante et l'autre vertical sous l'action de la gravité.

Ces équations sont les équations paramétriques du lancement du projectile. Comme expliqué ci-dessus, ils ont un paramètre commun t, qui est le temps.

Ce qui suit peut être vu dans le triangle rectangle de la figure:

Figure 3. Trajectoire parabolique suivie d'un projectile, dans laquelle les composantes du vecteur vitesse sont représentées. H est la hauteur maximale et R est la portée horizontale maximale. Source: Ayush12gupta

La substitution de ces équations contenant l'angle de lancement dans les équations paramétriques donne les résultats:

Équation du chemin parabolique

L'équation explicite du chemin est trouvée en résolvant t à partir de l'équation pour x (t) et en remplaçant dans l'équation par y (t). Pour faciliter le travail algébrique, on peut supposer que l'origine (0,0) est située au point de lancement et donc x _o = y _o = 0.

C'est l'équation du chemin sous forme explicite.

Passage circulaire

Un chemin circulaire est donné par:

Figure 4. Une particule se déplace selon une trajectoire circulaire sur le plan. Source: modifié par F. Zapata de Wikimedia Commons.

Ici x _ou yy _o représentent le centre de la circonférence décrite par le mobile et R est son rayon. P (x, y) est un point sur le chemin. D'après le triangle rectangle ombré (figure 3), on peut voir que:

Le paramètre, dans ce cas, est l'angle de balayage θ, appelé déplacement angulaire. Dans le cas particulier où la vitesse angulaire ω (angle balayé par unité de temps) est constante, on peut dire que:

Où θ _o est la position angulaire initiale de la particule, qui si elle est prise égale à 0, se réduit à:

Dans ce cas, le temps revient aux équations paramétriques comme:

Les vecteurs unitaires i et j sont très pratiques pour écrire la fonction de position d'un objet r (t). Ils indiquent respectivement les directions sur l'axe des x et sur l'axe des y. Dans ses termes, la position d'une particule qui décrit un mouvement circulaire uniforme est:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Exercices résolus

Exercice résolu 1

Un canon peut tirer une balle avec une vitesse de 200 m / s et un angle de 40 ° par rapport à l'horizontale. Si le lancer est sur un sol plat et que la résistance de l'air est négligée, trouvez:

a) L'équation du chemin y (x)..

b) Les équations paramétriques x (t) et y (t).

c) La portée horizontale et le temps que dure le projectile dans l'air.

d) La hauteur à laquelle se trouve le projectile lorsque x = 12000 m

Solution à)

a) Pour trouver la trajectoire, les valeurs données dans l'équation y (x) de la section précédente sont substituées:

Solution b)

b) Le point de lancement est choisi à l'origine du repère (0,0):

Solution c)

c) Pour trouver le temps que dure le projectile dans l'air, soit y (t) = 0, où le lancement se fait sur un sol plat:

La portée horizontale maximale est trouvée en substituant cette valeur dans x (t):

Une autre façon de trouver directement x _max consiste à définir y = 0 dans l'équation du chemin:

Il y a une petite différence due à l'arrondissement des décimales.

Solution d)

d) Pour trouver la hauteur lorsque x = 12000 m, cette valeur est directement substituée dans l'équation du chemin:

Exercice résolu 2

La fonction de position d'un objet est donnée par:

r (t) = 3t i + (4 -5t ²) j m

Trouver:

a) L'équation du chemin. De quelle courbe s'agit-il?

b) La position initiale et la position lorsque t = 2 s.

c) Le déplacement effectué après t = 2 s.

Solution

a) La fonction de position a été donnée en termes de vecteurs unitaires i et j, qui déterminent respectivement la direction dans les axes x et y, donc:

L'équation du chemin y (x) se trouve en résolvant t à partir de x (t) et en substituant dans y (t):

b) La position initiale est: r (2) = 4 j m; la position à t = 2 s est r (2) = 6 i -16 j m

c) Le déplacement D r est la soustraction des deux vecteurs de position:

Exercice résolu 3

La Terre a un rayon R = 6300 km et on sait que la période de rotation de son mouvement autour de son axe est d'un jour. Trouver:

a) L'équation de la trajectoire d'un point à la surface de la terre et sa fonction de position.

b) La vitesse et l'accélération de ce point.

Solution à)

a) La fonction de position pour tout point en orbite circulaire est:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Nous avons le rayon de la Terre R, mais pas la vitesse angulaire ω, cependant il peut être calculé à partir de la période, sachant que pour le mouvement circulaire il est valable de dire que:

La période du mouvement est: 1 jour = 24 heures = 1440 minutes = 86400 secondes, donc:

Remplacer dans la fonction de position:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0,000023148t i + sin 0,000023148t j) Km

Le chemin sous forme paramétrique est:

Solution b)

b) Pour le mouvement circulaire, la grandeur de la vitesse linéaire v d'un point est liée à la vitesse angulaire w par:

Même s'il s'agit d'un mouvement à vitesse constante de 145,8 m / s, il y a une accélération qui pointe vers le centre de l'orbite circulaire, chargée de maintenir le point en rotation. C'est l'accélération centripète en _c, donnée par:

Références

1. Giancoli, D. Physique. (2006). Principes avec applications. 6 ^ème Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Physique: un regard sur le monde. 6 ^ta Edition abrégée. Apprentissage Cengage. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Physique. Volume 1. Troisième édition en espagnol. Mexique. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fondamentaux de la physique. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Physique universitaire et physique moderne. 14 ^ème. Ed. Volume1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7 ^ma. Édition. Mexique. Éditeurs d'apprentissage Cengage. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fondamentaux de la physique. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Physique 10. Pearson Education. 133-149.