TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE: PROPRIÉTÉS, APPLICATIONS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

La transformée de Fourier discrète est une méthode numérique utilisée pour définir des échantillons se référant aux fréquences spectrales qui composent un signal. Il étudie les fonctions périodiques dans des paramètres fermés, produisant ainsi un autre signal discret.

Afin d'obtenir la transformée de Fourier discrète de N points, sur un signal discret, les 2 conditions suivantes doivent être remplies sur une suite x

TDF

La transformée de Fourier discrète peut être définie comme un échantillonnage à N points de la transformée de Fourier.

Interprétation de la transformée de Fourier discrète

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Il y a 2 points de vue à partir desquels les résultats obtenus sur une séquence x _s peuvent être interprétés à travers la transformée de Fourier discrète.

-Le premier correspond aux coefficients spectraux, déjà connus de la série de Fourier. Il est observé dans des signaux périodiques discrets, avec des échantillons coïncidant avec la séquence x _s.

-La seconde traite du spectre d'un signal apériodique discret, avec des échantillons correspondant à la séquence x _s.

La transformée discrète est une approximation du spectre du signal analogique d'origine. Sa phase dépend des instants d'échantillonnage, tandis que sa magnitude dépend de l'intervalle d'échantillonnage.

Propriétés

Les fondements algébriques de la structure constituent la justification des sections suivantes.

Linéarité

C. S _n → C. F; Si une séquence est multipliée par un scalaire, sa transformation le sera également.

T _n + V _n = F + F; La transformée d'une somme est égale à la somme des transformées.

Dualité

F → (1 / N) S _-k; Si la transformée de Fourier discrète est recalculée en une expression déjà transformée, la même expression est obtenue, mise à l'échelle en N et inversée par rapport à l'axe vertical.

Convolution

Poursuivant des objectifs similaires à ceux de la transformée de Laplace, la convolution des fonctions renvoie au produit entre leurs transformées de Fourier. La convolution s'applique également aux temps discrets et est responsable de nombreuses procédures modernes.

X _n * R _n → F.F; La transformée d'une convolution est égale au produit des transformées.

X _n. R _n → F * F; La transformée d'un produit est égale à la convolution des transformées.

Déplacement

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km}; Si une séquence est retardée de m échantillons, son effet sur la transformée discrète sera une modification de l'angle défini par (2π / N) km.

Symétrie

X _t = X * _t = X _t

Modulation

W ^-nm _N. x ↔ X _t

Produit

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symétrie

X ↔ X _t = X * _t

Conjuguer

x * ↔ X * _t

Équation de Parseval

Par rapport à la transformée de Fourier conventionnelle, elle présente plusieurs similitudes et différences. La transformée de Fourier convertit une séquence en une ligne continue. De cette manière, on dit que le résultat de la variable de Fourier est une fonction complexe d'une variable réelle.

La transformée de Fourier discrète, contrairement à, reçoit un signal discret et le transforme en un autre signal discret, c'est-à-dire une séquence.

À quoi sert la transformée de Fourier discrète?

Ils servent principalement à simplifier considérablement les équations, tout en transformant les expressions dérivées en éléments de puissance. Dénotant des expressions différentielles sous des formes polynomiales intégrables.

Dans l'optimisation, la modulation et la modélisation des résultats, il agit comme une expression standardisée, étant une ressource fréquente pour l'ingénierie après plusieurs générations.

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L'histoire

Ce concept mathématique a été introduit par Joseph B. Fourier en 1811, lors de l'élaboration d'un traité sur la propagation de la chaleur. Il a été rapidement adopté par diverses branches de la science et de l'ingénierie.

Il a été établi comme le principal outil de travail dans l'étude des équations à dérivées partielles, même en le comparant à la relation de travail existante entre la transformée de Laplace et les équations différentielles ordinaires.

Chaque fonction qui peut être utilisée avec une transformée de Fourier doit présenter null en dehors d'un paramètre défini.

Transformée de Fourier discrète et son inverse

La transformée discrète est obtenue par l'expression:

Après avoir donné une séquence discrète X

L'inverse de la transformée de Fourier discrète est défini par l'expression:

Prise de force inversée

Une fois la transformée discrète réalisée, elle permet de définir la séquence dans le domaine temporel X.

Ailé

Le processus de paramétrisation correspondant à la transformée de Fourier discrète réside dans le fenêtrage. Pour travailler la transformation, nous devons limiter la séquence dans le temps. Dans de nombreux cas, les signaux en question n'ont pas ces limitations.

Une séquence qui ne répond pas aux critères de taille à appliquer à la transformée discrète peut être multipliée par une fonction «fenêtre» V, définissant le comportement de la séquence dans un paramètre contrôlé.

X. V

La largeur du spectre dépendra de la largeur de la fenêtre. À mesure que la largeur de la fenêtre augmente, la transformation calculée sera plus étroite.

Applications

Calcul de la solution fondamentale

La transformée de Fourier discrète est un outil puissant dans l'étude des séquences discrètes.

La transformée de Fourier discrète transforme une fonction variable continue en une transformée variable discrète.

Le problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur présente un domaine d'application fréquent de la transformée de Fourier discrète . Où la fonction principale de la chaleur ou du noyau Dirichlet est générée, qui s'applique aux valeurs d'échantillonnage dans un paramètre défini.

Théorie du signal

La raison générale de l'application de la transformée de Fourier discrète dans cette branche est principalement due à la décomposition caractéristique d'un signal en superposition infinie de signaux plus facilement traitables.

Il peut s'agir d'une onde sonore ou d'une onde électromagnétique, la transformée de Fourier discrète l'exprime dans une superposition d'ondes simples. Cette représentation est assez fréquente en électrotechnique.

La série Fourier

Ce sont des séries définies en termes de cosinus et de sinus. Ils servent à faciliter le travail avec les fonctions périodiques générales. Lorsqu'elles sont appliquées, elles font partie des techniques de résolution d'équations différentielles ordinaires et partielles.

Les séries de Fourier sont encore plus générales que les séries de Taylor, car elles développent des fonctions discontinues périodiques qui n'ont pas de représentation en série de Taylor.

Autres formes de la série de Fourier

Pour comprendre analytiquement la transformée de Fourier, il est important de passer en revue les autres façons dont la série de Fourier peut être trouvée, jusqu'à ce que la série de Fourier puisse être définie dans sa notation complexe.

-Série de quatre sur une fonction de la période 2L:

L'intervalle est considéré, ce qui offre des avantages en tirant parti des caractéristiques symétriques des fonctions.

Si f est pair, la série de Fourier est établie comme une série de cosinus.

Si f est impair, la série de Fourier est établie comme une série de sinus.

-Notation complexe de la série de Fourier

Si nous avons une fonction f (t), qui répond à toutes les exigences de la série de Fourier, il est possible de la désigner dans l'intervalle en utilisant sa notation complexe:

Exemples

Concernant le calcul de la solution fondamentale, les exemples suivants sont présentés:

D'autre part, voici des exemples d'application de la transformée de Fourier discrète dans le domaine de la théorie du signal:

-Problèmes d'identification du système. Établi f et g

-Problème avec la cohérence du signal de sortie

-Problèmes de filtrage du signal

Exercices

Exercice 1

Calculez la transformée de Fourier discrète pour la séquence suivante.

Vous pouvez définir la prise de force de x comme:

X _t = {4, -j2, 0, j2} pour k = 0, 1, 2, 3

Exercice 2

Nous voulons déterminer le signal spectral défini par l'expression x (t) = e ^-t grâce à un algorithme numérique. Où le coefficient de demande de fréquence maximale est f _m = 1 Hz. Une harmonique correspond à f = 0,3 Hz. L'erreur est limitée à moins de 5%. Calculer f _s, D et N.

Prise en compte du théorème d'échantillonnage f _s = 2f _m = 2 Hz

On choisit une résolution en fréquence de f ₀ = 0,1 Hz, à partir de laquelle on obtient D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz est la fréquence correspondant à l'indice k = 3, où N = 3 × 8 = 24 échantillons. Indiquant que f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Le but étant d'obtenir la valeur la plus basse possible pour N, les valeurs suivantes peuvent être considérées comme une solution:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Références

1. Maîtriser la transformée de Fourier discrète en une, deux ou plusieurs dimensions: pièges et artefacts. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 juillet. 2013
2. Le DFT: un manuel du propriétaire pour la transformation discrète de Fourier. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1er janvier. Année mille neuf cents quatre-vingts-quinze
3. Traitement numérique du signal: théorie et pratique. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformations et algorithmes rapides pour l'analyse et les représentations du signal. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 décembre. 2012
5. Transformées de Fourier discrètes et continues: analyse, applications et algorithmes rapides. Eleanor Chu. CRC Press, 19 mars. 2008