TRANSFORMÉE DE FOURIER: PROPRIÉTÉS, APPLICATIONS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

La transformée de Fourier est une méthode d'adéquation analytique orientée vers des fonctions intégrables appartenant à la famille des transformées intégrales. Il consiste en une redéfinition des fonctions f (t) en termes de Cos (t) et Sen (t).

Les identités trigonométriques de ces fonctions, ainsi que leurs caractéristiques de dérivation et d'antidérivation, servent à définir la transformée de Fourier à travers la fonction complexe suivante:

Ce qui est vrai tant que l'expression a du sens, c'est-à-dire lorsque l'intégrale impropre est convergente. On dit que la transformée de Fourier est algébriquement un homéomorphisme linéaire.

Chaque fonction qui peut être utilisée avec une transformée de Fourier doit présenter null en dehors d'un paramètre défini.

Propriétés

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La transformée de Fourier répond aux propriétés suivantes:

Existence

Pour vérifier l'existence de la transformée de Fourier dans une fonction f (t) définie dans les réels R, les 2 axiomes suivants doivent être remplis:

1. f (t) est continue par morceaux pour tout R
2. f (t) est intégrable dans R

Linéarité de la transformation de Fourier

Soit M (t) et N (t) deux fonctions quelconques avec des transformées de Fourier définies, avec toutes les constantes a et b.

F (z) = une F (z) + b F (z)

Ce qui est également soutenu par la linéarité de l'intégrale du même nom.

Transformée de Fourier d'un dérivé

Il existe une fonction f qui est continue et intégrable dans tous les réels, où:

Et la dérivée de f (f ') est continue et définie par morceaux dans R

La transformée de Fourier d'un dérivé est définie par intégration par parties, par l'expression suivante:

F (z) = iz F (z)

Dans les dérivations d'ordre supérieur, il sera appliqué de manière homologue, où pour tout n 1 on a:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Différenciation de la transformée de Fourier

Il existe une fonction f qui est continue et intégrable dans tous les réels, où:

Transformée de Fourier d'une traduction

Pour tout θ appartenant à un ensemble S et T appartenant à l'ensemble S ', on a:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Avec τ _a travaillant comme opérateur de traduction sur le vecteur a.

Traduction de la transformée de Fourier

Pour tout θ appartenant à un ensemble S et T appartenant à l'ensemble S ', on a:

τ _une F = F τ _une F = F

Pour tous de qui appartiennent à R

Transformée de Fourier d'un groupe d'échelle

Pour tout θ appartenant à un ensemble S. T appartenant à l'ensemble S '

λ appartenant à R - {0} nous avons:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Si f est une fonction continue et clairement intégrable, où a> 0. Alors:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Pour démontrer ce résultat, nous pouvons procéder au changement de variable.

Lorsque T → + alors s = à → + ∞

Lorsque T → - alors s = à → - ∞

Symétrie

Pour étudier la symétrie de la transformée de Fourier, l'identité de Parseval et la formule de Plancherel doivent être vérifiées.

On a θ et δ qui appartiennent à S. De là, on peut déduire que:

Obtenir

1 / (2π) ^d { F, F } Identité de Parseval

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Formule de Plancherel

Transformée de Fourier d'un produit de convolution

Poursuivant des objectifs similaires à ceux de la transformée de Laplace, la convolution des fonctions renvoie au produit entre leurs transformées de Fourier.

Nous avons f et g comme 2 fonctions bornées, définies et complètement intégrables:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Continuité et chute à l'infini

A quoi sert la transformée de Fourier?

Il sert principalement à simplifier considérablement les équations, tout en transformant des expressions dérivées en éléments de puissance, dénotant des expressions différentielles sous la forme de polynômes intégrables.

Dans l'optimisation, la modulation et la modélisation des résultats, il agit comme une expression standardisée, étant une ressource fréquente pour l'ingénierie après plusieurs générations.

La série Fourier

Ce sont des séries définies en termes de cosinus et de sinus; Ils servent à faciliter le travail avec les fonctions périodiques générales. Lorsqu'elles sont appliquées, elles font partie des techniques de résolution d'équations différentielles ordinaires et partielles.

Les séries de Fourier sont encore plus générales que les séries de Taylor, car elles développent des fonctions discontinues périodiques qui n'ont pas de représentation en série de Taylor.

Autres formes de la série de Fourier

Pour comprendre analytiquement la transformée de Fourier, il est important de passer en revue les autres façons dont la série de Fourier peut être trouvée, jusqu'à ce que nous puissions définir la série de Fourier dans sa notation complexe.

-Série de quatre sur une fonction de la période 2L

Plusieurs fois, il est nécessaire d'adapter la structure d'une série de Fourier à des fonctions périodiques dont la période est p = 2L> 0 dans l'intervalle.

-Série de quatre dans les fonctions impaires et paires

L'intervalle est considéré, ce qui offre des avantages en tirant parti des caractéristiques symétriques des fonctions.

Si f est pair, la série de Fourier est établie comme une série de cosinus.

Si f est impair, la série de Fourier est établie comme une série de sinus.

-Notation complexe de la série de Fourier

Si nous avons une fonction f (t), qui répond à toutes les exigences de développabilité de la série de Fourier, il est possible de la désigner dans l'intervalle en utilisant sa notation complexe:

Applications

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Calcul de la solution fondamentale

La transformée de Fourier est un outil puissant dans l'étude des équations aux dérivées partielles de type linéaire à coefficients constants. Ils s'appliquent également aux fonctions avec des domaines illimités.

Comme la transformée de Laplace, la transformée de Fourier transforme une fonction dérivée partielle en une équation différentielle ordinaire beaucoup plus simple à opérer.

Le problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur présente un domaine d'application fréquente de la transformée de Fourier où le noyau de chaleur ou la fonction de noyau de Dirichlet est généré.

Concernant le calcul de la solution fondamentale, les cas suivants sont présentés où il est courant de trouver la transformée de Fourier:

Théorie du signal

La raison générale de l'application de la transformée de Fourier dans cette branche est largement due à la décomposition caractéristique d'un signal en superposition infinie de signaux plus facilement traitables.

Il peut s'agir d'une onde sonore ou d'une onde électromagnétique, la transformée de Fourier l'exprime dans une superposition d'ondes simples. Cette représentation est assez fréquente en électrotechnique.

D'autre part, voici des exemples d'application de la transformée de Fourier dans le domaine de la théorie du signal:

Exemples

Exemple 1

Définissez la transformée de Fourier pour l'expression suivante:

Nous pouvons également le représenter de la manière suivante:

F (t) = Sen (t)

L'impulsion rectangulaire est définie:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

La transformée de Fourier est appliquée à l'expression suivante qui ressemble au théorème de modulation.

f (t) = p (t) Sen (t)

Où: F = (1/2) i

Et la transformée de Fourier est définie par:

F = (1/2) je

Exemple 2

Définissez la transformée de Fourier pour l'expression:

Puisque f (h) est une fonction paire, on peut dire que

L'intégration par pièces est appliquée en sélectionnant les variables et leurs différentiels comme suit

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h) ² v = (e ^-h) ² /2

En remplaçant vous avez

Après évaluation sous le théorème fondamental du calcul

En appliquant les connaissances antérieures concernant les équations différentielles du premier ordre, l'expression est notée

Pour obtenir K on évalue

Enfin, la transformée de Fourier de l'expression est définie comme

Exercices proposés

• 

• 

• Obtenez la transformée de l'expression W / (1 + w ²)

Références

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., analyse de Fourier. Addison– Wesley Iberoamericana, Université autonome de Madrid, 1995.
2. Lions, JL, analyse mathématique et méthodes numériques pour la science et la technologie. Springer - Verlag, 1990.
3. Les noyaux de Lieb, EH, gaussiens n'ont que des maximiseurs gaussiens. Inventer. Math. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, série Fourier et intégrales. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.