THÉORÈME DE VARIGNON: EXEMPLES ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème de Varignon déclare que si un quadrilatère est continuellement connecté au milieu des côtés, un parallélogramme est généré. Ce théorème a été formulé par Pierre Varignon et publié en 1731 dans le livre Éléments de mathématiques ».

La publication du livre a eu lieu des années après sa mort. Puisque c'est Varignon qui a introduit ce théorème, le parallélogramme porte son nom. Le théorème est basé sur la géométrie euclidienne et présente les relations géométriques des quadrilatères.

Quel est le théorème de Varignon?

Varignon a déclaré qu'une figure qui est définie par les milieux d'un quadrilatère se traduira toujours par un parallélogramme, et l'aire du parallélogramme sera toujours la moitié de l'aire du quadrilatère s'il est plat et convexe. Par exemple:

Sur la figure, vous pouvez voir un quadrilatère avec une zone X, où les milieux des côtés sont représentés par E, F, G et H et, lorsqu'ils sont joints, forment un parallélogramme. L'aire du quadrilatère sera la somme des aires des triangles formés, dont la moitié correspond à l'aire du parallélogramme.

Puisque l'aire du parallélogramme est la moitié de l'aire du quadrilatère, le périmètre de ce parallélogramme peut être déterminé.

Ainsi, le périmètre est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère; c'est parce que les médianes du quadrilatère seront les diagonales du parallélogramme.

En revanche, si les longueurs des diagonales du quadrilatère sont exactement les mêmes, le parallélogramme sera un losange. Par exemple:

D'après la figure, on peut voir qu'en joignant les milieux des côtés du quadrilatère, un losange est obtenu. Par contre, si les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires, le parallélogramme sera un rectangle.

De plus, le parallélogramme sera un carré lorsque le quadrilatère a les diagonales de même longueur et qu'elles sont également perpendiculaires.

Le théorème ne se réalise pas seulement dans les quadrilatères plans, il est également implémenté en géométrie spatiale ou en grandes dimensions; c'est-à-dire dans ces quadrilatères qui ne sont pas convexes. Un exemple de ceci peut être un octaèdre, où les points médians sont les centroïdes de chaque face et forment un parallélépipède.

De cette manière, en joignant les milieux de différentes figures, des parallélogrammes peuvent être obtenus. Un moyen simple de vérifier si cela est vraiment vrai est que les côtés opposés doivent être parallèles lorsqu'ils sont étendus.

Exemples

Premier exemple

Extension des côtés opposés pour montrer qu'il s'agit d'un parallélogramme:

Deuxième exemple

En joignant les milieux d'un losange, un rectangle est obtenu:

Le théorème est utilisé dans l'union de points situés au milieu des côtés d'un quadrilatère, et il peut également être utilisé pour d'autres types de points, tels qu'une trisection, une penta-section, ou même un nombre infini de sections (nth), afin de diviser les côtés de tout quadrilatère en segments proportionnels.

Exercices résolus

Exercice 1

Dans la figure, nous avons un quadrilatère ABCD de zone Z, où les milieux des côtés de celui-ci sont PQSR. Vérifiez qu'un parallélogramme Varignon est formé.

Solution

On peut voir qu'en joignant les points PQSR un parallélogramme de Varignon est formé, précisément parce que les milieux d'un quadrilatère sont donnés dans l'énoncé.

Pour démontrer cela, les points médians PQSR sont d'abord joints, de sorte que l'on peut voir qu'un autre quadrilatère est formé. Pour prouver qu'il s'agit d'un parallélogramme, il suffit de tracer une ligne droite du point C au point A, on peut donc voir que CA est parallèle à PQ et RS.

De la même manière, lors de l'extension des côtés PQRS, on peut voir que PQ et RS sont parallèles, comme le montre l'image suivante:

Exercice 2

Nous avons un rectangle tel que les longueurs de tous ses côtés sont égales. En joignant les milieux de ces côtés, un losange ABCD est formé, qui est divisé par deux diagonales AC = 7cm et BD = 10cm, qui coïncident avec les mesures des côtés du rectangle. Déterminez les zones du losange et du rectangle.

Solution

En se rappelant que l'aire du parallélogramme résultant est la moitié du quadrilatère, l'aire de ceux-ci peut être déterminée sachant que la mesure des diagonales coïncide avec les côtés du rectangle. Il faut donc:

AB = D

CD = d

Un _rectangle = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

Un _losange = Un _rectangle / 2

Un _losange = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Exercice 3

Sur la figure, il y a un quadrilatère qui a l'union des points EFGH, les longueurs des segments sont données. Déterminez si l'union d'EFGH est un parallélogramme.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Solution

Comme les longueurs des segments sont données, il peut être vérifié s'il y a proportionnalité entre les segments; c'est-à-dire que vous pouvez savoir s'ils sont parallèles, en reliant les segments du quadrilatère comme suit:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Ensuite, la proportionnalité est vérifiée, puisque:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

De même, en traçant une ligne du point B au point D, on peut voir que EH est parallèle à BD, tout comme BD est parallèle à FG. D'autre part, EF est parallèle à GH.

Ainsi, on peut déterminer que EFGH est un parallélogramme, car les côtés opposés sont parallèles.

Références

1. Andres, T. (2010). Trésor olympiade mathématique. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Géométrie euclidienne plane. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Etude des géométries. Mexique: hispanique - américain.
4. Ramo, GP (1998). Solutions inconnues aux problèmes de Fermat-Torricelli. ISBN - Travail indépendant.
5. Vera, F. (1943). Éléments de géométrie. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Quelques aventures en géométrie euclidienne. Afrique du Sud.