THÉORÈME DES CONTES DE MILET: PREMIER, DEUXIÈME ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les premier et deuxième théorèmes de Thalès de Milet sont basés sur la détermination de triangles à partir de triangles similaires (premier théorème) ou de cercles (deuxième théorème). Ils ont été très utiles dans divers domaines. Par exemple, le premier théorème était très utile pour mesurer de grandes structures lorsqu'il n'y avait pas d'instruments de mesure sophistiqués.

Thales de Milet était un mathématicien grec qui a apporté de grandes contributions à la géométrie, dont ces deux théorèmes se distinguent (dans certains textes, il est également écrit comme Thales) et leurs applications utiles. Ces résultats ont été utilisés à travers l'histoire et ont permis de résoudre une grande variété de problèmes géométriques.

Thalès de Milet

Le premier théorème de Thales

Le premier théorème de Thales est un outil très utile qui, entre autres, permet la construction d'un triangle similaire à un autre, connu auparavant. De là, diverses versions du théorème sont dérivées qui peuvent être appliquées dans plusieurs contextes.

Avant de faire votre déclaration, rappelons quelques notions de similitude des triangles. Essentiellement, deux triangles sont similaires si leurs angles sont congruents (ils ont la même mesure). Il en résulte que si deux triangles sont similaires, leurs côtés correspondants (ou homologues) sont proportionnels.

Le premier théorème de Thales stipule que si une ligne est tracée parallèlement à l'un de ses côtés dans un triangle donné, le nouveau triangle obtenu sera similaire au triangle initial.

Une relation est également obtenue entre les angles formés, comme le montre la figure suivante.

Application

Parmi ses nombreuses applications, celle qui présente un intérêt particulier se démarque et concerne l'une des façons dont les mesures étaient faites de grandes structures dans l'Antiquité, une époque où vivait Thales et où il n'existait pas d'appareils de mesure modernes qui ils existent maintenant.

On dit que c'est ainsi que Thales a réussi à mesurer la plus haute pyramide d'Égypte, Khéops. Pour cela, Thales a supposé que les réflexions des rayons solaires touchaient le sol en formant des lignes parallèles. Sous cette hypothèse, il a cloué un bâton ou une canne verticalement dans le sol.

Il a ensuite utilisé la similitude des deux triangles résultants, l'un formé par la longueur de l'ombre de la pyramide (qui peut être facilement calculée) et la hauteur de la pyramide (l'inconnu), et l'autre formé par les longueurs de l'ombre et la hauteur de la tige (qui peut également être facilement calculée).

En utilisant la proportionnalité entre ces longueurs, la hauteur de la pyramide peut être résolue et connue.

Bien que cette méthode de mesure puisse donner une erreur d'approximation significative par rapport à la précision de la hauteur et dépend du parallélisme des rayons solaires (qui à son tour dépend d'un temps précis), il faut reconnaître que c'est une idée très ingénieuse et qu'il a fourni une bonne alternative de mesure pour l'époque.

Exemples

Trouvez la valeur de x dans chaque cas:

Deuxième théorème de Thales

Le deuxième théorème de Thales détermine un triangle rectangle inscrit dans un cercle à chaque point du même.

Un triangle inscrit sur une circonférence est un triangle dont les sommets sont sur la circonférence, restant ainsi contenus en elle.

Plus précisément, le deuxième théorème de Thales énonce ce qui suit: étant donné un cercle de centre O et de diamètre AC, chaque point B sur la circonférence (autre que A et C) détermine un triangle rectangle ABC, à angle droit

A titre de justification, notons que OA et OB et OC correspondent au rayon de la circonférence; par conséquent, leurs mesures sont les mêmes. Il s'ensuit que les triangles OAB et OCB sont isocèles, où

On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180º. En utilisant ceci avec le triangle ABC, nous avons:

2b + 2a = 180 °.

De manière équivalente, nous avons que b + a = 90º et b + a =

Notez que le triangle rectangle fourni par le deuxième théorème de Thales est précisément celui dont l'hypoténuse est égale au diamètre de la circonférence. Par conséquent, il est complètement déterminé par le demi-cercle qui contient les points du triangle; dans ce cas, le demi-cercle supérieur.

Observons également que dans le triangle rectangle obtenu au moyen du deuxième théorème de Thales, l'hypoténuse est divisée en deux parties égales par OA et OC (le rayon). À son tour, cette mesure est égale au segment OB (également le rayon), qui correspond à la médiane du triangle ABC par B.

En d'autres termes, la longueur de la médiane du triangle rectangle ABC correspondant au sommet B est complètement déterminée par la moitié de l'hypoténuse. Rappelons que la médiane d'un triangle est le segment allant de l'un des sommets au milieu du côté opposé; dans ce cas, le segment BO.

Circonférence circonscrite

Une autre façon de regarder le deuxième théorème de Thales est à travers une circonférence circonscrite à un triangle rectangle.

En général, une circonférence circonscrite à un polygone est constituée de la circonférence qui passe par chacun de ses sommets, chaque fois qu'il est possible de le dessiner.

En utilisant le deuxième théorème de Thales, étant donné un triangle rectangle, on peut toujours construire une circonférence qui lui est circonscrite, avec un rayon égal à la moitié de l'hypoténuse et un circumcenter (le centre de la circonférence) égal au milieu de l'hypoténuse.

Application

Une application très importante du deuxième théorème de Thales, et peut-être la plus largement utilisée, est de trouver les lignes tangentes à un cercle donné, par un point P extérieur à celui-ci (connu).

Notez que pour un cercle (dessiné en bleu dans la figure ci-dessous) et un point extérieur P, il y a deux droites tangentes au cercle qui passent par P. Soit T et T 'les points de tangence, r le rayon du cercle, et Ou le centre.

On sait que le segment qui va du centre d'un cercle à un point de tangence de celui-ci, est perpendiculaire à cette ligne tangente. L'angle OTP est donc juste.

D'après ce que nous avons vu précédemment dans le premier théorème de Thales et ses différentes versions, nous voyons qu'il est possible d'inscrire le triangle OTP dans un autre cercle (en rouge).

De même, on obtient que le triangle OT'P peut s'inscrire dans la même circonférence précédente.

Par le deuxième théorème de Thales, nous obtenons également que le diamètre de cette nouvelle circonférence est précisément l'hypoténuse du triangle OTP (qui est égal à l'hypoténuse du triangle OT'P), et que le centre est le milieu de cette hypoténuse.

Pour calculer le centre de la nouvelle circonférence, il suffit alors de calculer le point médian entre le centre - disons M - de la circonférence initiale (que nous connaissons déjà) et le point P (que nous connaissons également). Alors le rayon sera la distance entre ce point M et P.

Avec le rayon et le centre du cercle rouge, nous pouvons trouver son équation cartésienne, dont nous nous souvenons est donnée par (xh) ² + (yk) ² = c ², où c est le rayon et le point (h, k) est le centre de la circonférence.

Connaissant maintenant les équations des deux cercles, nous pouvons les intersecter en résolvant le système d'équations formé par eux, et en obtenant ainsi les points de tangence T et T '. Enfin, pour connaître les droites tangentes souhaitées, il suffit de trouver l'équation des droites passant par T et P, et par T 'et P.

Exemple

Considérons une circonférence de diamètre AC, centre O et rayon 1 cm. Soit B un point de la circonférence tel que AB = AC. Quelle est la taille AB?

Solution

D'après le deuxième théorème de Thales, nous avons que le triangle ABC est droit et que l'hypoténuse correspond au diamètre, qui dans ce cas mesure 2 cm (le rayon est de 1 cm). Ensuite, par le théorème de Pythagore, nous avons:

Références

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