THÉORÈME DE SUPERPOSITION: EXPLICATION, APPLICATIONS, EXERCICES RÉSOLUS - PHYSIQUE - 2024

Le théorème de superposition, dans les circuits électriques, déclare que la tension entre deux points, ou le courant qui les traverse, est la somme algébrique des tensions (ou courants si c'est le cas), dues à chaque source, comme si chacun agira indépendamment.

Ce théorème nous permet d'analyser des circuits linéaires qui contiennent plus d'une source indépendante, puisqu'il suffit de calculer la contribution de chacun séparément.

La dépendance linéaire est décisive pour l'application du théorème. Un circuit linéaire est un circuit dont la réponse est directement proportionnelle à l'entrée.

Par exemple, la loi d'Ohm appliquée à une résistance électrique stipule que V = iR, où V est la tension, R est la résistance et i est le courant. C'est alors une dépendance linéaire de la tension et du courant dans une résistance.

Dans les circuits linéaires, le principe de superposition est appliqué en tenant compte des éléments suivants:

-Chaque source de tension indépendante doit être considérée séparément et pour cela, il est nécessaire d'éteindre toutes les autres. Il suffit de mettre tous ceux qui ne sont pas sous analyse à 0 V ou de les remplacer dans le schéma par un court-circuit.

-Si la source est actuelle, le circuit doit être ouvert.

-Lorsque l'on considère la résistance interne des sources de courant et de tension, elles doivent rester en place, faisant partie du reste du circuit.

-S'il y a des sources dépendantes, elles doivent rester telles qu'elles apparaissent dans le circuit.

Applications

Le théorème de superposition est utilisé pour obtenir des circuits plus simples et plus faciles à manipuler. Mais il faut toujours garder à l'esprit que cela ne s'applique qu'à ceux qui ont des réponses linéaires, comme indiqué au début.

Il ne peut donc pas être utilisé directement pour calculer la puissance par exemple, car la puissance est liée au courant par:

Puisque le courant est au carré, la réponse n'est pas linéaire. Il n'est pas non plus applicable aux circuits magnétiques dans lesquels des transformateurs sont impliqués.

D'autre part, le théorème de superposition offre l'opportunité de connaître l'effet que chaque source a sur le circuit. Et bien sûr, grâce à son application, il est possible de le résoudre complètement, c'est-à-dire de connaître les courants et les tensions à travers chaque résistance.

Le théorème de superposition peut également être utilisé en conjonction avec d'autres théorèmes de circuit, par exemple celui de Thévenin, pour résoudre des configurations plus complexes.

Dans les circuits à courant alternatif, le théorème est également utile. Dans ce cas, nous travaillons avec des impédances au lieu de résistances, à condition que la réponse totale de chaque fréquence puisse être calculée indépendamment.

Enfin, dans les systèmes électroniques, le théorème est applicable à la fois pour l'analyse du courant continu et du courant alternatif, séparément.

Étapes pour appliquer le théorème de superposition

-Désactiver toutes les sources indépendantes en suivant les instructions données au début, sauf celle à analyser.

-Déterminer la sortie, tension ou courant, produite par cette source unique.

-Répétez les deux étapes décrites pour toutes les autres sources.

-Calculer la somme algébrique de toutes les contributions trouvées dans les étapes précédentes.

Exercices résolus

Les exemples travaillés ci-dessous clarifient l'utilisation du théorème dans certains circuits simples.

- Exemple 1

Dans le circuit illustré dans la figure suivante, trouvez le courant traversant chaque résistance en utilisant le théorème de superposition.

Solution

Contribution de la source de tension

Pour commencer, la source de courant est éliminée, ce qui donne au circuit l'aspect suivant:

La résistance équivalente se trouve en additionnant la valeur de chaque résistance, puisqu'elles sont toutes en série:

Application de la loi d'Ohm V = IR et résolution du courant:

Ce courant est le même pour toutes les résistances.

Contribution de la source actuelle

La source de tension est immédiatement éliminée, pour ne fonctionner qu'avec la source de courant. Le circuit résultant est illustré ci-dessous:

Les résistances du maillage droit sont en série et peuvent être remplacées par une seule:

600 + 400 + 1500 Ω = 2500 Ω

Le circuit résultant ressemble à ceci:

Le courant de 2 mA = 0,002 A est divisé entre les deux résistances de la figure, donc l'équation du diviseur de courant est valide:

Où I _x est le courant dans la résistance R _x, R _eq symbolise la résistance équivalente et I _T est le courant total. Il faut trouver la résistance équivalente entre les deux, sachant que:

Donc:

Pour cet autre circuit, le courant qui traverse la résistance de 7500 Ω est trouvé en substituant des valeurs dans l'équation du diviseur de courant:

Alors que celui qui traverse la résistance de 2500 Ω est:

Application du théorème de superposition

Maintenant, le théorème de superposition est appliqué pour chaque résistance, en commençant par le 400 Ω:

I _{400 Ω} = 1,5 mA - 0,7 mA = 0,8 mA

Important: pour cette résistance, les courants sont soustraits, car ils circulent dans le sens opposé, comme le montre une observation attentive des figures, dans lesquelles les directions des courants ont des couleurs différentes.

Ce même courant circule également dans les résistances 1500 Ω et 600 Ω, puisqu'elles sont toutes en série.

Le théorème est ensuite appliqué pour trouver le courant à travers la résistance de 7500 Ω:

I _{7500 Ω} = 0,7 mA + 0,5 mA = 1,2 mA

Important: dans le cas de la résistance 7500 Ω, notez que les courants s'additionnent, car dans les deux circuits ils circulent dans le même sens lors du passage à travers cette résistance. Encore une fois, il est nécessaire d'observer attentivement les directions des courants.

- Exercice 2

Trouvez le courant et la tension aux bornes de la résistance de 12 Ω en utilisant le théorème de superposition.

Solution

La source E ₁ est remplacée par un court-circuit:

Le circuit résultant est dessiné de la manière suivante, pour visualiser facilement les résistances qui restent en parallèle:

Et maintenant, il est résolu en appliquant des séries et des parallèles:

Cette résistance est à son tour en série avec les 2 Ω, donc la résistance totale est de 5 Ω. Le courant total est:

Ce flux est divisé en:

Par conséquent, la tension est:

Maintenant la source E ₁ est activée:

Le circuit résultant peut être dessiné comme ceci:

Et en série avec le 4 Ω il y a une résistance équivalente de 40/7 Ω. Dans ce cas, le courant total est:

Le diviseur de tension est à nouveau appliqué avec ces valeurs:

Le courant résultant est: 0,5 - 0,4 A = 0,1 A. Notez qu'ils ont été soustraits, car le courant de chaque source a un sens différent, comme on peut le voir dans le circuit d'origine.

La tension aux bornes de la résistance est:

Enfin, la tension totale est: 6V-4.8V = 1.2V

Références

1. Alexander, C. 2006. Principes fondamentaux des circuits électriques. 3e. Édition. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introduction à l'analyse de circuits. 2ème. Édition. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Introduction aux circuits électriques. 7ème. Édition. John Wiley et fils.
4. Edminister, J. 1996. Circuits électriques. Série Schaum. 3e. Édition. Mc Graw Hill
5. Wikipédia. Diviseur actuel. Récupéré de: es.wikipedia.org.