THÉORÈME DE STEINER: EXPLICATION, APPLICATIONS, EXERCICES - PHYSIQUE - 2024

Le théorème de Steiner, également connu sous le nom de théorème d'axe parallèle, pour évaluer le moment d'inertie d'un corps étendu, autour d'un axe parallèle à un autre passant par le centre de masse de l'objet.

Il a été découvert par le mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863) et énonce ce qui suit: soit I _CM le moment d'inertie de l'objet par rapport à un axe passant par son centre de masse CM et I _z le moment d'inertie par rapport à un autre axe parallèle à cela.

Figure 1. Une porte rectangulaire tournant sur ses charnières a un moment d'inertie qui peut être calculé en appliquant le théorème de Steiner. Source: Pixabay.

Connaissant la distance D qui sépare les deux axes et la masse M du corps en question, le moment d'inertie par rapport à l'axe inconnu est:

Le moment d'inertie indique à quel point il est facile pour un objet de tourner autour d'un certain axe. Cela dépend non seulement de la masse du corps, mais de la façon dont il est distribué. Pour cette raison, il est également connu sous le nom d'inertie de rotation, étant ses unités dans le système international Kg. m ².

Le théorème montre que le moment d'inertie I _z est toujours supérieur au moment d'inertie I _CM d'une grandeur donnée par MD ².

Applications

Puisqu'un objet est capable de tourner autour de nombreux axes, et dans les tableaux généralement seul le moment d'inertie est donné par rapport à l'axe passant par le centre de gravité, le théorème de Steiner facilite le calcul lorsqu'il est nécessaire de faire pivoter les corps autour des axes qui ne correspondent pas à cela.

Par exemple, une porte ne tourne généralement pas autour d'un axe passant par son centre de masse, mais autour d'un axe latéral, où les charnières adhèrent.

En connaissant le moment d'inertie, il est possible de calculer l'énergie cinétique associée à la rotation autour dudit axe. Si K est l'énergie cinétique, I le moment d'inertie autour de l'axe considéré et ω la vitesse angulaire, il s'ensuit que:

Cette équation est très similaire à la formule très familière de l'énergie cinétique pour un objet de masse M se déplaçant à la vitesse v: K = ½ Mv ². Et c'est que le moment d'inertie ou inertie rotationnelle I joue le même rôle dans la rotation que la masse M dans la translation.

Preuve du théorème de Steiner

Le moment d'inertie d'un objet étendu est défini comme:

I = ∫ r ² dm

Où dm est une partie infinitésimale de la masse et r est la distance entre dm et l'axe de rotation z. Sur la figure 2, cet axe croise le centre de masse CM, cependant il peut en être un.

Figure 2. Un objet étendu en rotation autour de deux axes parallèles. Source: F. Zapata.

Autour d'un autre axe z ', le moment d'inertie est:

Je _z = ∫ (r ') ² dm

Or, d'après le triangle formé par les vecteurs D, r et r ' (voir figure 2 à droite), il y a une somme vectorielle:

r + r ' = D → r' = D - r

Les trois vecteurs se trouvent sur le plan de l'objet, qui peut être le xy. L'origine du repère (0,0) est choisie dans CM pour faciliter les calculs qui suivent.

De cette façon, le module au carré du vecteur r ' est:

Maintenant, ce développement est substitué dans l'intégrale du moment d'inertie I _z et la définition de la densité dm = ρ.dV est également utilisée:

Le terme M. D ² qui apparaît dans le théorème de Steiner provient de la première intégrale, la seconde est le moment d'inertie par rapport à l'axe qui passe par CM.

Pour leur part, les troisième et quatrième intégrales valent 0, puisqu'elles constituent par définition la position du CM, qui a été choisie comme origine du repère (0,0).

Exercices résolus

-Exercice résolu 1

La porte rectangulaire de la figure 1 a une masse de 23 kg, 1,30 de large et 2,10 m de haut. Déterminer le moment d'inertie de la porte par rapport à l'axe passant par les charnières, en supposant que la porte est mince et uniforme.

Figure 3. Schéma de l'exemple travaillé 1. Source: modifié à partir de Pixabay.

Solution

A partir d'un tableau des moments d'inertie, pour une plaque rectangulaire de masse M et de dimensions a et b, le moment d'inertie par rapport à l'axe passant par son centre de masse est: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Une porte homogène sera supposée (une approximation, puisque la porte de la figure ne l'est probablement pas). Dans un tel cas, le centre de gravité passe par son centre géométrique. Sur la figure 3, un axe qui passe par le centre de masse a été dessiné et est également parallèle à l'axe qui passe par les charnières.

Je _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ²) m ² = 11,7 Kg.m ²

Application du théorème de Steiner pour l'axe vert de rotation:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Exercice résolu 2

Trouvez le moment d'inertie d'une tige mince homogène lorsqu'elle tourne autour d'un axe qui passe par l'une de ses extrémités, voir figure. Est-il supérieur ou inférieur au moment d'inertie lorsqu'il tourne autour de son centre? Parce que?

Figure 4. Schéma de l'exemple résolu 2. Source: F. Zapata.

Solution

D'après le tableau des moments d'inertie, le moment d'inertie I _CM d'une tige mince de masse M et de longueur L est: I _CM = (1/12) ML ²

Et le théorème de Steiner stipule que lorsqu'il est tourné autour d'un axe qui passe par une extrémité D = L / 2, il reste:

Il est plus grand, mais pas simplement deux fois, mais 4 fois plus, puisque l'autre moitié de la tige (non ombrée sur la figure) tourne en décrivant un rayon plus grand.

L'influence de la distance à l'axe de rotation n'est pas linéaire, mais quadratique. Une masse qui est deux fois la distance d'une autre aura un moment d'inertie proportionnel à (2D) ² = 4D ².

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Université d'État de Géorgie. Mouvement rotatif. Récupéré de: phys.nthu.edu.tw.
3. Théorème de l'axe parallèle. Récupéré de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson. 190-200.
5. Wikipédia. Théorème d'axe parallèle. Récupéré de: en.wikipedia.org