Le gradient de potentiel est un vecteur qui représente le taux de changement du potentiel électrique par rapport à la distance sur chaque axe d'un système de coordonnées cartésien. Ainsi, le vecteur gradient de potentiel indique la direction dans laquelle la vitesse de variation du potentiel électrique est plus grande, en fonction de la distance.
À son tour, le module du gradient de potentiel reflète le taux de changement de la variation du potentiel électrique dans une direction particulière. Si la valeur de ceci est connue à chaque point dans une région spatiale, alors le champ électrique peut être obtenu à partir du gradient de potentiel.
Le champ électrique est défini comme un vecteur, il a donc une direction et une amplitude spécifiques. En déterminant la direction dans laquelle le potentiel électrique diminue le plus rapidement - en s'éloignant du point de référence - et en divisant cette valeur par la distance parcourue, on obtient l'amplitude du champ électrique.
caractéristiques
Le gradient de potentiel est un vecteur délimité par des coordonnées spatiales spécifiques, qui mesure le rapport de variation entre le potentiel électrique et la distance parcourue par ledit potentiel.
Les caractéristiques les plus remarquables du gradient de potentiel électrique sont détaillées ci-dessous:
1- Le gradient de potentiel est un vecteur. Par conséquent, il a une ampleur et une direction spécifiques.
2- Le gradient potentiel étant un vecteur dans l'espace, il a des grandeurs dirigées sur les axes X (largeur), Y (hauteur) et Z (profondeur), si le repère cartésien est pris comme référence.
3- Ce vecteur est perpendiculaire à la surface équipotentielle au point où le potentiel électrique est évalué.
4- Le vecteur de gradient de potentiel est dirigé vers la direction de variation maximale de la fonction de potentiel électrique en tout point.
5- Le module du gradient de potentiel est égal à la dérivée de la fonction de potentiel électrique par rapport à la distance parcourue dans la direction de chacun des axes du repère cartésien.
6- Le gradient de potentiel a une valeur nulle aux points stationnaires (maximums, minimums et points de selle).
7- Dans le système international d'unités (SI), les unités de mesure du gradient de potentiel sont les volts / mètres.
8- La direction du champ électrique est la même dans laquelle le potentiel électrique diminue son amplitude plus rapidement. À son tour, le gradient potentiel pointe dans la direction dans laquelle le potentiel augmente en valeur par rapport à un changement de position. Ainsi, le champ électrique a la même valeur du gradient de potentiel, mais avec le signe opposé.
Comment le calculer?
La différence de potentiel électrique entre deux points (point 1 et point 2), est donnée par l'expression suivante:
Où:
V1: potentiel électrique au point 1.
V2: potentiel électrique au point 2.
E: amplitude du champ électrique.
Ѳ: angle l'inclinaison du vecteur champ électrique mesuré par rapport au système de coordonnées.
Lorsque vous exprimez cette formule de manière différentielle, voici ce qui suit:
Le facteur E * cos (Ѳ) fait référence au module de la composante du champ électrique dans la direction de dl. Soit L l'axe horizontal du plan de référence, alors cos (Ѳ) = 1, comme ceci:
Ci-après, le quotient entre la variation du potentiel électrique (dV) et la variation de la distance parcourue (ds) est le module du gradient de potentiel pour ledit composant.
De là, il s'ensuit que la grandeur du gradient de potentiel électrique est égale à la composante du champ électrique dans le sens de l'étude, mais avec le signe opposé.
Cependant, comme l'environnement réel est tridimensionnel, le gradient de potentiel en un point donné doit être exprimé comme la somme de trois composantes spatiales sur les axes X, Y et Z du système cartésien.
En décomposant le vecteur de champ électrique en ses trois composantes rectangulaires, nous avons ce qui suit:
S'il y a une région dans le plan dans laquelle le potentiel électrique a la même valeur, la dérivée partielle de ce paramètre par rapport à chacune des coordonnées cartésiennes sera nulle.
Ainsi, en des points situés sur des surfaces équipotentielles, l'intensité du champ électrique aura une magnitude nulle.
Enfin, le vecteur de gradient de potentiel peut être défini comme exactement le même vecteur de champ électrique (en amplitude), avec le signe opposé. Ainsi, nous avons ce qui suit:
Exemple
À partir des calculs précédents, il est nécessaire de:
Cependant, avant de déterminer le champ électrique en fonction du gradient de potentiel, ou inversement, il faut d'abord déterminer quelle est la direction dans laquelle la différence de potentiel électrique croît.
Après cela, le quotient de la variation du potentiel électrique et de la variation de la distance nette parcourue est déterminé.
De cette manière, on obtient l'amplitude du champ électrique associé, qui est égale à l'amplitude du gradient de potentiel dans cette coordonnée.
Exercice
Il y a deux plaques parallèles, comme le montre la figure suivante.
Étape 1
La direction de croissance du champ électrique est déterminée sur le système de coordonnées cartésien.
Le champ électrique ne croît que dans le sens horizontal, étant donné la disposition des plaques parallèles. Par conséquent, il est possible de déduire que les composantes du gradient de potentiel sur l'axe Y et l'axe Z sont nulles.
Étape 2
Les données d'intérêt sont discriminées.
- Différence de potentiel: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Différence de distance: dx = 10 centimètres.
Pour garantir la congruence des unités de mesure utilisées selon le Système international d'unités, les grandeurs qui ne sont pas exprimées en SI doivent être converties en conséquence. Ainsi, 10 centimètres équivalent à 0,1 mètre, et enfin: dx = 0,1 m.
Étape 3
Calculez la magnitude du vecteur de gradient potentiel comme il convient.
Références
- Électricité (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londres, Royaume-Uni. Récupéré de: britannica.com
- Gradient potentiel (sf). Université nationale autonome du Mexique. Mexico DF, Mexique. Récupéré de: professeurs.dcb.unam.mx
- Interaction électrique. Récupéré de: matematicasypoesia.com.es
- Gradient potentiel (sf). Récupéré de: circuitglobe.com
- Relation entre potentiel et champ électrique (sf). Institut technologique du Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Récupéré de: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipédia, l'encyclopédie libre (2018). Pente. Récupéré de: es.wikipedia.org