THÉORÈME DE NORTON: DESCRIPTION, APPLICATIONS, EXEMPLES ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Le théorème de Norton, appliqué à des circuits électriques, définit un circuit linéaire à deux bornes a et b, peut être remplacé par un autre tout à fait équivalent, constitué par une source de courant I appel _non connecté en parallèle avec une résistance R _n.

Ledit courant I _Non ou I _N est celui qui circulerait entre les points a et b, s'ils étaient court-circuités. La résistance R _N est la résistance équivalente entre les bornes, lorsque toutes les sources indépendantes s'éteignent. Tout ce qui a été dit est présenté dans la figure 1.

Figure 1. Circuit équivalent Norton. Source: Wikimedia Commons. Drumkid

La boîte noire de la figure contient le circuit linéaire à remplacer par son équivalent Norton. Un circuit linéaire est un circuit dans lequel l'entrée et la sortie ont une dépendance linéaire, telle que la relation entre la tension V et le courant continu I dans un élément ohmique: V = IR

Cette expression correspond à la loi d'Ohm, où R est la résistance, qui peut aussi être une impédance, s'il s'agit d'un circuit à courant alternatif.

Le théorème de Norton a été développé par l'ingénieur électricien et inventeur Edward L. Norton (1898-1983), qui a longtemps travaillé pour Bell Labs.

Applications du théorème de Norton

Lorsque vous avez des réseaux très compliqués, avec de nombreuses résistances ou impédances et que vous souhaitez calculer la tension entre l'un d'entre eux, ou le courant qui le traverse, le théorème de Norton simplifie les calculs, car comme nous l'avons vu, le réseau peut être remplacé par un circuit plus petit et plus facile à gérer.

De cette façon, le théorème de Norton est très important lors de la conception de circuits avec plusieurs éléments, ainsi que pour en étudier la réponse.

Relation entre les théorèmes de Norton et de Thevenin

Le théorème de Norton est le dual du théorème de Thevenin, ce qui signifie qu'ils sont équivalents. Le théorème de Thevenin déclare que la boîte noire de la figure 1 peut être remplacée par une source de tension en série avec une résistance, appelée résistance de Thevenin R _Th. Ceci est exprimé dans la figure suivante:

Figure 2. Circuit d'origine à gauche, et ses équivalents Thévenin et Norton. Source: F. Zapata.

Le circuit de gauche est le circuit d'origine, le réseau linéaire dans la boîte noire, le circuit A en haut à droite est l'équivalent de Thevenin et le circuit B est l'équivalent de Norton, comme décrit. Vu des bornes a et b, les trois circuits sont équivalents.

Notez maintenant que:

-Dans le circuit d'origine, la tension entre les bornes est V _ab.

-V _ab = V _Th dans le circuit A

-Enfin, V _ab = I _N.R _N dans le circuit B

Si les bornes a et b sont court-circuitées dans les trois circuits, il faut s'assurer que la tension et le courant entre ces points doivent être les mêmes pour les trois, puisqu'ils sont équivalents. Ensuite:

-Dans le circuit d'origine, le courant est i.

-Pour le circuit A, le courant est i = V _Th / R _Th, selon la loi d'Ohm.

-Enfin dans le circuit B, le courant est I _N

Par conséquent, on conclut que les résistances Norton et Thevenin ont la même valeur, et que le courant est donné par:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

Exemple

Pour appliquer correctement le théorème de Norton, les étapes suivantes sont suivies:

- Isoler du réseau la section du circuit pour laquelle l'équivalent Norton se trouve.

-Dans le circuit restant, indiquez les bornes a et b.

-Substituer les sources de tension pour les courts-circuits et les sources de courant pour les circuits ouverts, pour trouver la résistance équivalente entre les bornes a et b. Ceci est R _N.

-Remettez toutes les sources dans leur position d'origine, court-circuitez les bornes et trouvez le courant qui circule entre elles. C'est que je _N.

-Dessinez le circuit équivalent Norton selon ce qui est indiqué sur la figure 1. La source de courant et la résistance équivalente sont en parallèle.

Le théorème de Thevenin peut également être appliqué pour trouver R _Th, que nous savons déjà égal à R _N, puis par la loi d'Ohm, nous pouvons trouver I _N et procéder au tracé du circuit résultant.

Et maintenant, voyons un exemple:

Trouvez l'équivalent Norton entre les points A et B du circuit suivant:

Figure 3. Exemple de circuit. Source: F. Zapata.

La partie du circuit dont l'équivalent se trouve est déjà isolée. Et les points A et B sont clairement déterminés. Ce qui suit est de court-circuiter la source 10 V et de trouver la résistance équivalente du circuit obtenu:

Figure 4. Source en court-circuit. Source: F. Zapata.

Vu des bornes A et B, les deux résistances R ₁ et R ₂ sont en parallèle, donc:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Ensuite, la source est en place et les points A et B sont court - circuités pour trouver le courant là - bas, ce que je _N. Dans ce cas:

Figure 5. Circuit pour calculer le courant Norton. Source: F. Zapata.

I _N = 10 V / 4 Ω = 2,5 A

Equivalent Norton

Enfin, l'équivalent Norton est dessiné avec les valeurs trouvées:

Figure 6. Equivalent Norton du circuit de la figure 3. Source: F. Zapata.

Exercice résolu

Dans le circuit de la figure suivante:

Figure 7. Circuit pour l'exercice résolu. Source: Alexander, C. 2006. Principes fondamentaux des circuits électriques. 3e. Édition. Mc Graw Hill.

a) Trouvez le circuit équivalent Norton du réseau externe à la résistance bleue.

b) Retrouvez également l'équivalent Thévenin.

Solution pour

En suivant les étapes indiquées ci-dessus, la source doit être court-circuitée:

Figure 8. Source en court-circuit dans le circuit de la figure 7. Source: F. Zapata.

Calcul RN

Vue des bornes A et B, la résistance R ₃ est en série avec le parallèle formé par les résistances R ₁ et R ₂, calculons d'abord la résistance équivalente de ce parallèle:

Et puis ce parallèle est en série avec R _3, donc la résistance équivalente est:

Il s'agit de la valeur à la fois de R _N et de R _Th, comme expliqué précédemment.

IN calcul

Les bornes A et B sont alors court-circuitées, renvoyant la source à sa place:

Figure 9. Circuits pour trouver le courant Norton. Source: F. Zapata.

Le courant traversant I ₃ est le courant I _N recherché, qui peut être déterminé avec la méthode du maillage ou en utilisant la série et le parallèle. Dans ce circuit R ₂ et R ₃ sont en parallèle:

La résistance R ₁ est en série avec ce parallèle, alors:

Le courant sortant de la source (couleur bleue) est calculé en utilisant la loi d'Ohm:

Ce courant est divisé en deux parties: une qui passe par R ₂ et une autre qui passe par R ₃. Cependant, le courant qui traverse le parallèle R ₂₃ est le même que celui qui traverse R ₁, comme on peut le voir sur le circuit intermédiaire de la figure. La tension y est:

Les deux résistances R ₂ et R ₃ sont à cette tension, puisqu'elles sont en parallèle, donc:

Nous avons déjà le courant Norton recherché, puisque comme dit précédemment I ₃ = I _N, alors:

Equivalent Norton

Tout est prêt pour dessiner l'équivalent Norton de ce circuit entre les points A et B:

Figure 10. Equivalent Norton du circuit de la figure 7. Source: F. Zapata.

Solution b

Trouver l'équivalent Thévenin est très simple, puisque R _Th = R _N = 6 Ω et comme expliqué dans les sections précédentes:

V _Th = I _N. R _N = 1 A. 6 Ω = 6 V

Le circuit équivalent Thévenin est:

Figure 11. Equivalent Thevenin du circuit de la figure 7. Source: F. Zapata.

Références

1. Alexander, C. 2006. Principes fondamentaux des circuits électriques. 3e. Édition. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introduction à l'analyse de circuits. 2ème. Édition. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Introduction aux circuits électriques. 7ème. Édition. John Wiley et fils.
4. Edminister, J. 1996. Circuits électriques. Série Schaum. 3e. Édition. Mc Graw Hill.
5. Wikipédia. Théorème de Norton. Récupéré de: es.wikipedia.org.