THÉORÈME DE CHEBYSHOV: QU'EST-CE QUE C'EST, APPLICATIONS ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème Chebyshev (Chebyshev ou inégalité) est l'un des résultats classiques les plus importants de la théorie des probabilités. Il permet d'estimer la probabilité d'un événement décrit en termes de variable aléatoire X, en nous fournissant une borne qui ne dépend pas de la distribution de la variable aléatoire mais de la variance de X.

Le théorème est nommé d'après le mathématicien russe Pafnuty Chebyshov (également écrit comme Chebychev ou Tchebycheff) qui, bien qu'il n'ait pas été le premier à énoncer le théorème, a été le premier à donner une preuve en 1867.

Cette inégalité, ou celles qui, en raison de leurs caractéristiques, sont appelées inégalité de Chebyshov, est principalement utilisée pour approximer les probabilités en calculant des hauteurs.

En quoi consiste?

Dans l'étude de la théorie des probabilités, il arrive que si la fonction de distribution d'une variable aléatoire X est connue, sa valeur attendue - ou espérance mathématique E (X) - et sa variance Var (X) peuvent être calculées, tant que de tels montants existent. Cependant, l'inverse n'est pas nécessairement vrai.

Autrement dit, connaissant E (X) et Var (X), il n'est pas nécessairement possible d'obtenir la fonction de distribution de X, donc des quantités telles que P (-X-> k) pour certains k> 0 sont très difficiles à obtenir. Mais grâce à l'inégalité de Chebyshov, il est possible d'estimer la probabilité de la variable aléatoire.

Le théorème de Chebyshov nous dit que si nous avons une variable aléatoire X sur un espace échantillon S avec une fonction de probabilité p, et si k> 0, alors:

Applications et exemples

Parmi les nombreuses applications du théorème de Chebyshov, on peut citer:

Limiter les probabilités

C'est l'application la plus courante et est utilisée pour donner une borne supérieure pour P (-XE (X) -≥k) où k> 0, uniquement avec la variance et l'espérance de la variable aléatoire X, sans connaître la fonction de probabilité.

Exemple 1

Supposons que le nombre de produits fabriqués dans une entreprise au cours d'une semaine soit une variable aléatoire avec une moyenne de 50.

Si l'on sait que la variance d'une semaine de production est égale à 25, alors que pouvons-nous dire de la probabilité que cette semaine la production diffère de plus de 10 de la moyenne?

Solution

En appliquant l'inégalité de Chebyshov, nous avons:

De cela, nous pouvons obtenir que la probabilité que dans la semaine de production le nombre d'articles dépasse la moyenne de plus de 10 est au plus 1/4.

Preuve des théorèmes des limites

L'inégalité de Chebyshov joue un rôle important dans la démonstration des théorèmes limites les plus importants. À titre d'exemple, nous avons ce qui suit:

Loi faible des grands nombres

Cette loi stipule que, étant donné une suite X1, X2,…, Xn,… de variables aléatoires indépendantes avec la même distribution moyenne E (Xi) = μ et la variance Var (X) = σ ², et un échantillon moyen connu de:

Alors pour k> 0 on a:

Ou équivalent:

Manifestation

Remarquons d'abord ce qui suit:

Puisque X1, X2,…, Xn sont indépendants, il s'ensuit que:

Par conséquent, il est possible de déclarer ce qui suit:

Ensuite, en utilisant le théorème de Chebyshov, nous avons:

Enfin, le théorème résulte du fait que la limite à droite est nulle lorsque n approche l'infini.

Il est à noter que ce test n'a été effectué que pour le cas où la variance de Xi existe; c'est-à-dire qu'il ne diverge pas. On observe donc que le théorème est toujours vrai si E (Xi) existe.

Théorème limite de Chebyshov

Si X1, X2,…, Xn,… est une suite de variables aléatoires indépendantes telles qu'il existe un certain C <infini, tel que Var (Xn) ≤ C pour tout n naturel, alors pour tout k> 0:

Manifestation

Puisque la séquence des variances est uniformément bornée, nous avons que Var (Sn) ≤ C / n, pour tout n naturel. Mais nous savons que:

Faire tendre n vers l'infini, les résultats suivants:

Puisqu'une probabilité ne peut pas dépasser la valeur de 1, le résultat souhaité est obtenu. Comme conséquence de ce théorème, nous pourrions citer le cas particulier de Bernoulli.

Si une expérience est répétée n fois indépendamment avec deux résultats possibles (échec et succès), où p est la probabilité de succès dans chaque expérience et X est la variable aléatoire qui représente le nombre de succès obtenus, alors pour chaque k> 0 il faut que:

Taille de l'échantillon

En termes de variance, l'inégalité de Chebyshov nous permet de trouver une taille d'échantillon n suffisante pour garantir que la probabilité que -Sn-μ -> = k se produise soit aussi faible que souhaité, ce qui nous permet d'avoir une approximation à la moyenne.

Plus précisément, soit X1, X2,… Xn un échantillon de variables aléatoires indépendantes de taille n et supposons que E (Xi) = μ et sa variance σ ². Ensuite, par l'inégalité de Chebyshov, nous avons:

Exemple

Supposons que X1, X2,… Xn sont un échantillon de variables aléatoires indépendantes de distribution de Bernoulli, telles qu'elles prennent la valeur 1 avec une probabilité p = 0,5.

Quelle doit être la taille de l'échantillon pour pouvoir garantir que la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique Sn et sa valeur attendue (dépassant de plus de 0,1), soit inférieure ou égale à 0,01?

Solution

On a que E (X) = μ = p = 0,5 et que Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Par l'inégalité de Chebyshov, pour tout k> 0 on a:

Maintenant, en prenant k = 0,1 et δ = 0,01, nous avons:

De cette manière, on en conclut qu'une taille d'échantillon d'au moins 2500 est nécessaire pour garantir que la probabilité de l'événement -Sn - 0,5 -> = 0,1 est inférieure à 0,01.

Inégalités de type Chebyshov

Il existe plusieurs inégalités liées à l'inégalité de Chebyshov. L'une des plus connues est l'inégalité de Markov:

Dans cette expression, X est une variable aléatoire non négative avec k, r> 0.

L'inégalité de Markov peut prendre différentes formes. Par exemple, soit Y une variable aléatoire non négative (donc P (Y> = 0) = 1) et supposons que E (Y) = μ existe. Supposons aussi que (E (Y)) ^r = μ _r existe pour un entier r> 1. Ensuite:

Une autre inégalité est gaussienne, qui nous dit que, étant donné une variable aléatoire unimodale X avec mode à zéro, alors pour k> 0,

Références

1. Kai Lai Chung. Théorie élémentaire de la proabilité avec des processus stochastiques. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen: Mathématiques discrètes et ses applications. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilité et applications statistiques. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problèmes résolus de mathématiques discrètes. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problèmes de théorie et de probabilité. McGRAW-HILL.