THÉORÈME DE BOLZANO: EXPLICATION, APPLICATIONS ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème de Bolzano stipule que si une fonction est continue en tout point d'un intervalle fermé et est convaincue que l'image de "a" et "b" (sous la fonction) ont des signes opposés, alors il y aura au moins un point " c "dans l'intervalle ouvert (a, b), de manière à ce que la fonction évaluée en" c "soit égale à 0.

Ce théorème a été énoncé par le philosophe, théologien et mathématicien Bernard Bolzano en 1850. Ce scientifique, né dans l'actuelle République tchèque, a été l'un des premiers mathématiciens de l'histoire à faire une preuve formelle des propriétés des fonctions continues.

Explication

Le théorème de Bolzano est également connu sous le nom de théorème des valeurs intermédiaires, qui aide à déterminer des valeurs spécifiques, en particulier des zéros, de certaines fonctions réelles d'une variable réelle.

Dans une fonction donnée f (x) continue -c'est-à-dire que f (a) et f (b) sont reliés par une courbe-, où f (a) est en dessous de l'axe des x (il est négatif), et f (b) par au-dessus de l'axe x (c'est positif), ou vice versa, graphiquement il y aura un point de coupure sur l'axe x qui représentera une valeur intermédiaire «c», qui sera entre «a» et «b», et la valeur de f (c) sera égal à 0.

En analysant graphiquement le théorème de Bolzano, on peut voir que pour chaque fonction continue f définie sur un intervalle, où f (a) _* f (b) est inférieur à 0, il y aura au moins une racine «c» de cette fonction dans de l'intervalle (a, b).

Ce théorème n'établit pas le nombre de points dans cet intervalle ouvert, il indique seulement qu'il y a au moins 1 point.

Manifestation

Pour prouver le théorème de Bolzano, on suppose sans perte de généralité que f (a) <0 et f (b)> 0; ainsi, il peut y avoir de nombreuses valeurs entre "a" et "b" pour lesquelles f (x) = 0, mais une seule doit être affichée.

Nous commençons par évaluer f au milieu (a + b) / 2. Si f ((a + b) / 2) = 0 alors la démonstration se termine ici; sinon, alors f ((a + b) / 2) est positif ou négatif.

L'une des moitiés de l'intervalle est choisie, de sorte que les signes de la fonction évaluée aux extrêmes soient différents. Ce nouvel intervalle sera.

Maintenant, si f évalué au milieu de n'est pas nul, alors la même opération que précédemment est effectuée; c'est-à-dire que la moitié de cet intervalle est choisie qui remplit la condition des signes. Que ce soit le nouvel intervalle.

Si vous continuez ce processus, vous aurez alors deux séquences {an} et {bn}, telles que:

{an} augmente et {bn} diminue:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Si vous calculez la longueur de chaque intervalle, vous devrez:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Par conséquent, la limite lorsque n s'approche de l'infini de (bn-an) est égale à 0.

En utilisant que {an} est croissant et borné et {bn} décroissant et borné, nous avons qu'il existe une valeur «c» telle que:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

La limite de an est "c" et la limite de {bn} est également "c". Par conséquent, étant donné tout δ> 0, il y a toujours un "n" tel que l'intervalle est contenu dans l'intervalle (c-δ, c + δ).

Maintenant, il faut montrer que f (c) = 0.

Si f (c)> 0, alors puisque f est continue, il existe un ε> 0 tel que f soit positif sur tout l'intervalle (c - ε, c + ε). Cependant, comme mentionné ci-dessus, il existe une valeur "n" telle que f change de connexion et, de plus, est contenue dans (c - ε, c + ε), ce qui est une contradiction.

Si f (c) <0, alors puisque f est continue, il existe un ε> 0 tel que f soit négatif sur tout l'intervalle (c - ε, c + ε); mais il existe une valeur "n" telle que f change de connexion. Il s'avère qu'il est contenu dans (c - ε, c + ε), ce qui est également une contradiction.

Donc, f (c) = 0 et c'est ce que nous voulions prouver.

Pourquoi est-ce?

De son interprétation graphique, le théorème de Bolzano est utilisé pour trouver des racines ou des zéros dans une fonction continue, par bissection (approximation), qui est une méthode de recherche incrémentale qui divise toujours les intervalles par 2.

Ensuite, un intervalle est pris ou où le changement de signe se produit, et le processus est répété jusqu'à ce que l'intervalle soit de plus en plus petit, afin de pouvoir approcher la valeur souhaitée; c'est-à-dire à la valeur que la fonction rend 0.

En résumé, pour appliquer le théorème de Bolzano et ainsi trouver les racines, limiter les zéros d'une fonction ou donner une solution à une équation, les étapes suivantes sont effectuées:

- On vérifie si f est une fonction continue sur l'intervalle.

- Si l'intervalle n'est pas donné, il faut en trouver un où la fonction est continue.

- On vérifie si les extrêmes de l'intervalle donnent des signes opposés lorsqu'ils sont évalués en f.

- Si des signes opposés ne sont pas obtenus, l'intervalle doit être divisé en deux sous-intervalles en utilisant le point médian.

- Evaluer la fonction au point médian et vérifier que l'hypothèse de Bolzano est satisfaite, où f (a) _* f (b) <0.

- Selon le signe (positif ou négatif) de la valeur trouvée, le processus est répété avec un nouveau sous-intervalle jusqu'à ce que l'hypothèse susmentionnée soit remplie.

Exercices résolus

Exercice 1

Déterminez si la fonction f (x) = x ² - 2, a au moins une solution réelle dans l'intervalle.

Solution

Nous avons la fonction f (x) = x ² - 2. Puisqu'elle est polynomiale, cela signifie qu'elle est continue dans n'importe quel intervalle.

Il est demandé de déterminer s'il a une solution réelle dans l'intervalle, il suffit donc maintenant de substituer les extrêmes de l'intervalle dans la fonction pour en connaître le signe et savoir s'ils remplissent la condition d'être différents:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (négatif)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positif)

Par conséquent, signe de f (1) ≠ signe f (2).

Cela garantit qu'il y a au moins un point "c" qui appartient à l'intervalle, dans lequel f (c) = 0.

Dans ce cas, la valeur de "c" peut être facilement calculée comme suit:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Ainsi, √2 ≈ 1,4 appartient à l'intervalle et remplit que f (√2) = 0.

Exercice 2

Montrer que l'équation x ⁵ + x + 1 = 0 a au moins une solution réelle.

Solution

Notons d'abord que f (x) = x ⁵ + x + 1 est une fonction polynomiale, ce qui signifie qu'elle est continue sur tous les nombres réels.

Dans ce cas, aucun intervalle n'est donné, donc les valeurs doivent être choisies intuitivement, de préférence proches de 0, pour évaluer la fonction et trouver les changements de signe:

Si vous utilisez l'intervalle, vous devez:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Comme il n'y a pas de changement de signe, le processus est répété avec un autre intervalle.

Si vous utilisez l'intervalle, vous devez:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Dans cet intervalle il y a un changement de signe: signe de f (-1) ≠ signe de f (0), ce qui signifie que la fonction f (x) = x ⁵ + x + 1 a au moins une racine réelle «c» dans l'intervalle, tel que f (c) = 0. En d'autres termes, il est vrai que x ⁵ + x + 1 = 0 a une solution réelle dans l'intervalle.

Références

1. Bronshtein I, SK (1988). Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants.. Éditorial MIR.
2. George, A. (1994). Mathématiques et esprit. Presse d'université d'Oxford.
3. Ilín V, PE (1991). Analyse mathematique. En trois volumes..
4. Jesús Gómez, FG (2003). Enseignants de l'enseignement secondaire. Volume II. FURIEUX.
5. Mateos, ML (2013). Propriétés de base de l'analyse dans R. Editores, 20 décembre.
6. Piskunov, N. (1980). Calcul différentiel et intégral..
7. Sydsaeter K, HP (2005). Mathématiques pour l'analyse économique. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (nd). Symétrie continue: d'Euclide à Klein. American Mathematical Soc.