THÉORIE DES FILES D'ATTENTE: HISTOIRE, MODÈLE, À QUOI ÇA SERT ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

La théorie des files d'attente est la branche des mathématiques qui étudie les phénomènes et les comportements dans les files d'attente. Ils sont définis lorsqu'un utilisateur qui demande un certain service décide d'attendre que le serveur soit traité.

Etudiez les éléments présents dans les files d'attente de tout type, qu'il s'agisse d'éléments humains, de traitement de données ou d'opérations. Ses conclusions sont d'une application constante dans les lignes de production, d'enregistrement et de transformation.

Police Pexels

Ses valeurs servent au paramétrage des processus avant leur mise en œuvre, servant d'élément organisationnel clé pour une bonne gestion de la planification.

L'histoire

Le principal responsable de son développement était le mathématicien d'origine danoise Agner Kramp Erlang, qui travaillait pour la société de télécommunications de Copenhague.

Agner a noté les besoins croissants émergents dans le système de prestation de services téléphoniques de l'entreprise. C'est pourquoi l'étude des phénomènes mathématiques pouvant être quantifiés dans le système des files d'attente a commencé.

Sa première publication officielle fut un article intitulé Queuing Theory, qui fut publié en 1909. Il se concentra principalement sur le problème du dimensionnement des lignes et des centres de commutation téléphonique pour le service d'appel.

Modèle et éléments

Il existe différents modèles de files d'attente où certains aspects sont chargés de définir et de caractériser chacun d'entre eux. Avant de définir les modèles, les éléments qui composent chaque modèle de file d'attente sont présentés.

-Éléments

Source d'entrée ou population potentielle

C'est l'ensemble des candidats possibles au service. Cela s'applique à tout type de variable, des utilisateurs humains aux ensembles de paquets de données. Ils sont classés en finis et infinis selon la nature de l'ensemble.

La queue

Il fait référence à l'ensemble des éléments qui font déjà partie du système de service. Lesquels ont déjà accepté d'attendre la disponibilité de l'opérateur. Ils sont en attente de résolution du système.

-Le système de queue

Il est composé du trièdre formé par la file d'attente, le mécanisme de service et la discipline de la file d'attente. Il structure le protocole système, régissant les critères de sélection des éléments de la file d'attente.

- Mécanisme de service

C'est le processus par lequel le service est fourni à chaque utilisateur.

-Client

C'est tout élément appartenant à la population potentielle qui demande un service. Il est important de connaître le taux d'entrée des clients, ainsi que la probabilité qu'a la source de les générer.

-Capacité de file d'attente

Il se réfère à la capacité maximale des articles qui peuvent attendre d'être servis. Il peut être considéré comme fini ou infini, étant dans la plupart des cas infini par des critères de praticité.

-Discipline de la file d'attente

C'est le protocole par lequel l'ordre dans lequel le client est servi est déterminé. Il sert de canal de traitement et de commande pour les utilisateurs, étant responsable de leur disposition et de leur mouvement dans la file d'attente. Selon vos critères, il peut être de différents types.

- FIFO: De l'acronyme en anglais First in first out, également connu sous le nom de FCFS premier arrivé premier servi. Ce qui signifie, respectivement, premier entré premier sorti et premier entré premier servi. Les deux formulaires indiquent que le premier client à arriver sera le premier à être servi.

- LIFO: dernier entré, premier sorti également connu sous le nom de pile ou LCFS dernier arrivé premier servi. Où le client arrivé en dernier est servi en premier.

- RSS: sélection aléatoire du service également appelé service SIRO dans un ordre aléatoire, où les clients sont sélectionnés selon des critères aléatoires ou aléatoires.

Des modèles

Il y a 3 aspects qui régissent le modèle de mise en file d'attente à considérer. Ce sont les suivants:

- Distribution du temps entre les arrivées: fait référence au taux auquel les unités sont ajoutées à la file d'attente. Ce sont des valeurs fonctionnelles et sont soumises à des variables différentes selon leur nature.

- Répartition du temps de service: temps utilisé par le serveur pour traiter le service demandé par le client. Il varie en fonction du nombre d'opérations ou de procédures mises en place.

Ces 2 aspects peuvent prendre les valeurs suivantes:

M: distribution exponentielle exponentielle (Markoviana).

D: Distribution dégénérée (temps constants).

E _k: distribution d'Erlang avec le paramètre de forme k.

G: Distribution générale (toute distribution).

- Nombre de serveurs: portes de service ouvertes et disponibles pour traiter les clients. Ils sont essentiels dans la définition structurelle de chaque modèle de file d'attente.

De cette manière, les modèles de mise en file d'attente sont définis, en prenant d'abord les initiales en majuscules de la distribution de l'heure d'arrivée et de la distribution du temps de service. Enfin, le nombre de serveurs est étudié.

Un exemple assez courant est MM 1, qui fait référence à un type exponentiel de distribution des heures d'arrivée et de service, tout en travaillant avec un seul serveur.

D'autres types de modèles de file d'attente sont MM, MG 1, ME 1, DM 1, entre autres.

Types de systèmes de mise en file d'attente

Il existe plusieurs types de systèmes de mise en file d'attente dans lesquels plusieurs variables servent d'indicateurs du type de système présenté. Mais fondamentalement, il est régi par le nombre de files d'attente et le nombre de serveurs. La structure linéaire à laquelle l'utilisateur est soumis pour obtenir le service s'applique également.

- Une file d'attente et un serveur. C'est la structure habituelle, où l'utilisateur par le système d'arrivée entre dans la file d'attente, où après avoir terminé son attente selon la discipline de la file d'attente, et est traité par le seul serveur.

- Une file d'attente et plusieurs serveurs. L'utilisateur, à la fin de son temps d'attente, peut se rendre sur différents serveurs qui peuvent être exécuteurs des mêmes processus, ainsi qu'ils peuvent être privés pour différentes procédures.

- Plusieurs files d'attente et plusieurs serveurs. La structure peut être divisée pour différents processus ou servir de large canal pour couvrir une forte demande de service commun.

- Une file d'attente avec des serveurs séquentiels. Les utilisateurs passent par différentes étapes. Ils entrent et prennent place dans la file d'attente, et lorsqu'ils sont servis par le premier serveur, ils passent à une nouvelle étape qui nécessite des exécutions précédentes effectuées dans le premier service.

Terminologie

- λ: Ce symbole (Lambda) représente dans la théorie des files d'attente la valeur attendue des entrées par intervalle de temps.

- 1 / λ: correspond à la valeur attendue entre les heures d'arrivée de chaque utilisateur qui entre dans le système.

- μ: Le symbole Mu correspond au nombre attendu de clients qui terminent le service par unité de temps. Cela s'applique à chaque serveur.

- 1 / μ: temps de service attendu par le système.

- ρ: Le symbole Rho désigne le facteur d'utilisation du serveur. Il est utilisé pour mesurer combien de temps le serveur sera occupé à traiter les utilisateurs.

ρ = λ / sμ

Si p> 1, le système sera transitoire, il aura tendance à croître, car le taux d'utilité du serveur est inférieur au nombre d'utilisateurs entrant dans le système.

Si p <1, le système restera stable.

Quelle est la théorie pour

Il a été créé afin d'optimiser les processus de fourniture de services téléphoniques. Cela démarque une utilité par rapport aux phénomènes de files d'attente, où l'on cherche à réduire les valeurs de temps et à annuler tout type de retouche ou de processus redondant qui ralentit le processus des utilisateurs et des opérateurs.

Police Pexels

À des niveaux plus complexes, où les variables d'entrée et de service prennent des valeurs mixtes, les calculs effectués en dehors de la théorie de la file d'attente sont presque impensables. Les formules fournies par la théorie ont ouvert le calcul avancé au sein de cette branche.

Éléments présents dans les formules

- Pn: Valeur faisant référence à la probabilité que «n» unités se trouvent dans le système.

- Lq: longueur de la file d'attente ou valeur moyenne des utilisateurs qu'elle contient.

- Ls: Moyenne des unités du système.

- Wq: taux d'attente moyen dans la file d'attente.

- Ws: taux d'attente moyen dans le système.

- _λ: nombre moyen de clients qui entrent dans le service.

- Ws (t): Valeur se référant à la probabilité qu'un client reste plus de «t» unités dans le système.

- Wq (t): Valeur se référant à la probabilité qu'un client reste plus de «t» unités dans la file d'attente.

Exemples

Un registre a un serveur unique pour traiter les passeports des utilisateurs qui viennent. En moyenne, 35 utilisateurs par heure fréquentent le registre. Le serveur a la capacité de servir 45 utilisateurs par heure. On savait auparavant que les utilisateurs passent en moyenne 5 minutes dans la file d'attente.

Tu veux savoir:

1. Temps moyen que chaque utilisateur passe sur le système
2. Nombre moyen de clients dans la file d'attente

Nous avons λ = 35/45 clients / minutes

μ = 45/60 clients / minutes

Wq = 5 minutes

Partie A

Le temps moyen dans le système peut être calculé avec Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minutes + 1,33 = 6,33 minutes

De cette façon, le temps total pendant lequel l'utilisateur sera dans le système est défini, où 5 minutes seront dans la file d'attente et 1,33 minute avec le serveur.

Partie b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 client minute) x (5 minutes) = 3,89 clients

Il peut y avoir plus de 3 clients simultanément dans la file d'attente.

Références

1. Gestion des opérations. Éditorial Vértice, 16 avr. 2007
2. Théorie des files d'attente ou de la file d'attente. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. La théorie des systèmes a résolu des problèmes. Roberto Sanchis Llopis. Publications de l'Universitat Jaume I, 2002
4. Méthodes quantitatives d'organisation industrielle II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. de Catalunya, 2009
5. Théorie de l'inventaire et son application. Éditorial Pax-México, 1967