SOMMATION TÉLESCOPIQUE: COMMENT ELLE EST RÉSOLUE ET LES EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

La somme télescopique est une série numérique d'opérations de branche. Il traite de la sommation des éléments d'une valeur initiale à «n» d'expressions dont l'argument obéit à l'un des modèles suivants:

(F _x - F _{x + 1}); (F _{x + 1} - F _x)

Comme aussi:

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Ils représentent une somme d'éléments qui, lorsqu'ils sont développés, sont soumis à des annulations de termes opposés. Permettant de définir l'égalité suivante pour les sommations télescopiques:

Son nom vient de la relation avec l'apparition d'un télescope classique, qui pourrait être plié et déplié, modifiant notamment sa dimension. De la même manière, les sommations télescopiques, qui sont de nature infinie, peuvent être résumées dans l'expression simplifiée:

F ₁ - F _{n + 1}

Manifestation

Lors de l'élaboration de la sommation des termes, l'élimination des facteurs est assez évidente. Où pour chacun des cas, les éléments opposés apparaîtront dans la prochaine itération.

Le premier cas, (F _x - F _{x + 1}), sera pris à titre d'exemple, puisque le processus fonctionne de manière homologue pour (F _{x + 1} –F _x).

En développant les 3 premières valeurs {1, 2, 3} la tendance à la simplification est observée

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1}) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1}) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1}) = F ₃ - F ₄

Où lors de l'expression de la somme des éléments décrits:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

On observe que les termes F ₂ et F ₃ sont décrits avec leurs opposés, ce qui rend leur simplification inévitable. De la même manière, on observe que les termes F ₁ et F ₄ sont maintenus.

Si la somme a été faite de x = 1 à x = 3, cela signifie que l'élément F ₄ correspond au terme générique F _{n + 1.}

Démontrant ainsi l'égalité:

Comment est-ce résolu?

Le but des sommations télescopiques est de faciliter le travail, de sorte qu'il ne soit pas nécessaire de développer un nombre infini de termes, ou de simplifier une chaîne d'additifs trop longue.

Pour sa résolution, il suffira d'évaluer les termes F ₁ et F _{n + 1}. Ces substitutions simples constituent le résultat final de la sommation.

La totalité des termes ne sera pas exprimée, étant nécessaire uniquement pour la démonstration du résultat, mais pas pour le processus de calcul normal.

L'important est de remarquer la convergence des séries numériques. Parfois, l'argument de sommation ne sera pas exprimé de manière télescopique. Dans ces cas, la mise en œuvre de méthodes d'affacturage alternatives est très courante.

La méthode de factorisation caractéristique des additions télescopiques est celle des fractions simples. Cela se produit lorsqu'une fraction originale est décomposée en une somme de plusieurs fractions, où le motif télescopique (F _x - F _{x + 1}) ou (F _{x + 1} - F _x) peut être observé.

Décomposition en fractions simples

Pour vérifier la convergence des séries numériques, il est très courant de transformer des expressions rationnelles avec la méthode des fractions simples. Le but est de modéliser l'intrigue sous la forme d'une sommation télescopique.

Par exemple, l'égalité suivante représente une décomposition en fractions simples:

Lors du développement de la série de nombres et de l'application des propriétés correspondantes, l'expression prend la forme suivante:

Où la forme télescopique est appréciée (F _x - F _{x + 1}).

La procédure est assez intuitive et consiste à trouver les valeurs du numérateur qui, sans casser l'égalité, nous permettent de séparer les produits trouvés dans le dénominateur. Les équations qui surviennent dans la détermination de ces valeurs, sont soulevées selon des comparaisons entre les deux côtés de l'égalité.

Cette procédure est observée étape par étape dans le développement de l'exercice 2.

L'histoire

Il est assez incertain de pouvoir définir le moment historique dans lequel les sommations télescopiques ont été présentées. Cependant, sa mise en œuvre commence à être vue au XVIIe siècle, dans les études de séries numériques menées par Leibniz et Huygens.

Les deux mathématiciens, explorant les sommations des nombres triangulaires, commencent à remarquer des tendances dans la convergence de certaines séries d'éléments successifs. Mais encore plus intéressant est le début de la modélisation de ces expressions, dans des éléments qui ne se succèdent pas forcément.

En fait, l'expression utilisée précédemment pour désigner des fractions simples:

Il a été présenté par Huygens et a immédiatement attiré l'attention de Leibniz. Qui au fil du temps a pu observer la convergence vers la valeur 2. Sans le savoir, il a implémenté le format de sommation télescopique.

Exercices

Exercice 1

Définissez vers quel terme la somme suivante converge:

Lors du développement manuel de la somme, le modèle suivant est observé:

(2 ³ - 2 ⁴) + (2 ⁴ - 2 ⁵) + (2 ⁵ - 2 ⁶)…. (2 ¹⁰ - 2 ¹¹)

Où les facteurs de 2 ⁴ à 2 ¹⁰ présentent des parties positives et négatives, rendant leur annulation évidente. Ensuite, les seuls facteurs qui ne seront pas simplifiés seront le premier «2 ³ » et le dernier «2 ¹¹ ».

De cette manière, lors de la mise en œuvre du critère de sommation télescopique, on obtient:

Exercice 2

Transformez l'argument en une sommation de type télescopique et définissez la convergence de la série:

Comme indiqué dans la déclaration, la première chose à faire est de décomposer en fractions simples, afin de reformuler l'argument et de l'exprimer de manière télescopique.

Vous devez trouver 2 fractions dont les dénominateurs sont respectivement "n" et "n + 1", où la méthode utilisée ci-dessous doit obtenir les valeurs du numérateur qui satisfont l'égalité.

Nous procédons à la définition des valeurs de A et B. Tout d'abord, ajoutons les fractions.

Ensuite, les dénominateurs sont simplifiés et une équation linéaire est établie.

Dans l'étape suivante, l'expression de droite est utilisée, jusqu'à ce qu'un motif comparable au «3» de gauche soit obtenu.

Pour définir les équations à utiliser, les résultats des deux côtés de l'égalité doivent être comparés. En d'autres termes, aucune valeur de la variable n n'est observée sur le côté gauche, de cette manière A + B devra être égal à zéro.

A + B = 0; A = -B

Par contre, la valeur constante A devra être égale à la valeur constante 3.

A = 3

Donc.

A = 3 et B = -3

Une fois que les valeurs du numérateur pour les fractions simples sont déjà définies, la sommation est reformulée.

Où la forme générique de sommation télescopique a déjà été réalisée. La série télescopique est développée.

Où, en divisant par un très grand nombre, le résultat se rapprochera de plus en plus de zéro, en observant la convergence de la série vers la valeur 3.

Ce type de série ne peut être résolu d'aucune autre manière, en raison du nombre infini d'itérations qui définissent le problème. Cependant, cette méthode, avec beaucoup d'autres, encadre la branche d'étude des séries numériques, dont l'objectif est de déterminer les valeurs de convergence ou de définir la divergence de ces séries.

Références

1. Cours de calcul infinitésimal. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. ÉDITUM, 1994.
2. Calcul intégral: séquences et séries de fonctions. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 octobre. 2014.
3. Un cours de calcul et d'analyse réelle. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 juin. 2006.
4. Série infinie. Tomlinson Fort. La presse Clarendon, 1930.
5. Éléments de la théorie des processus infinis. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, constituée en société, 1923.