- Exemples d'ajout de polynômes
- Ajouter deux polynômes ou plus avec plus d'une variable
- Exercices d'addition polynomiale
- - Exercice 1
- Solution
- - Exercice 2
- Solution pour
- Références
La somme des polynômes est l'opération qui consiste à ajouter deux polynômes ou plus, ce qui donne un autre polynôme. Pour le réaliser, il faut additionner les termes du même ordre de chacun des polynômes et indiquer la somme résultante.
Examinons d'abord brièvement la signification de «termes du même ordre». Tout polynôme est constitué d'additions et / ou de soustractions de termes.
Figure 1. Pour ajouter deux polynômes, il est nécessaire de les ordonner puis de réduire les termes similaires. Source: Pixabay + Wikimedia Commons.
Les termes peuvent être des produits de nombres réels et d'une ou plusieurs variables, représentés par des lettres, par exemple: 3x 2 et -√5.a 2 bc 3 sont des termes.
Eh bien, les termes du même ordre sont ceux qui ont le même exposant ou puissance, bien qu'ils puissent avoir un coefficient différent.
-Les termes d'ordre égal sont: 5x 3, √2 x 3 et -1 / 2x 3
-Termes des différents ordres: -2x -2, 2xy -1 et √6x 2 et
Il est important de garder à l'esprit que seuls les termes du même ordre peuvent être ajoutés ou soustraits, opération appelée réduction. Sinon, la somme est simplement indiquée.
Une fois le concept de termes du même ordre clarifié, les polynômes sont ajoutés en suivant ces étapes:
- Ordonner les premiers polynômes à additionner, tous de la même manière, de manière croissante ou décroissante, c'est-à-dire avec des puissances du plus bas au plus élevé ou vice versa.
- Complet, au cas où une alimentation manquerait dans la séquence.
- Réduisez les termes similaires.
- Indiquez la somme obtenue.
Exemples d'ajout de polynômes
Nous allons commencer par ajouter deux polynômes avec une seule variable appelée x, par exemple les polynômes P (x) et Q (x) donnés par:
P (x) = 2x 2 - 5x 4 + 2x –x 5 - 3x 3 +12
Q (x) = x 5 à 25 x + x 2
En suivant les étapes décrites, vous commencez par les classer par ordre décroissant, ce qui est la manière la plus courante:
P (x) = –x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
Le polynôme Q (x) n'est pas complet, on voit qu'il manque des puissances d'exposants 4, 3 et 0. Ce dernier est simplement le terme indépendant, celui qui n'a pas de lettre.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Une fois cette étape terminée, ils sont prêts à être ajoutés. Vous pouvez ajouter les termes similaires, puis indiquer la somme, ou placer les polynômes ordonnés les uns sous les autres et réduire par colonnes, comme ceci:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
+ x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 –5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
Il est important de noter que lorsqu'il est ajouté, cela se fait algébriquement, en respectant la règle des signes, de cette manière 2x + (-25 x) = -23x. Autrement dit, si les coefficients ont un signe différent, ils sont soustraits et le résultat porte le signe du plus grand.
Ajouter deux polynômes ou plus avec plus d'une variable
Lorsqu'il s'agit de polynômes à plus d'une variable, l'un d'eux est choisi pour le classer. Par exemple, supposons que vous demandiez d'ajouter:
R (x, y) = 5x 2 - 4y 2 + 8xy - 6y 3
ET:
T (x, y) = ½ x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 et
L'une des variables est choisie, par exemple x pour commander:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy - 6y 2
Immédiatement, les termes manquants sont complétés, selon lesquels chaque polynôme a:
R (x, y) = 0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2
Et vous êtes tous les deux prêts à réduire des termes similaires:
0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
+ x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2 +
---------------------–
+ x 3 y + 11 / 2x 2 - 3xy - 6y 3 - 10y 2 = R (x, y) + T (x, y)
Exercices d'addition polynomiale
- Exercice 1
Dans la somme de polynômes suivante, indiquez le terme qui doit figurer dans l'espace vide pour obtenir la somme polynomiale:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 à 14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
Solution
Pour obtenir -6x 5 un terme de la forme ax 5 est nécessaire, tel que:
a + 1+ 2 = -6
Donc:
a = -6-1-2 = -9
Et le terme de recherche est:
-9x 5
-Nous procédons de la même manière pour trouver le reste des termes. Voici celui de l'exposant 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
Le terme manquant est: 13x 4.
-Pour les puissances de x 3, il est immédiat que le terme soit -9x 3, de cette façon le coefficient du terme cubique est 0.
-Comme pour les puissances au carré: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 et le terme est -5x 2.
-Le terme linéaire est obtenu au moyen de a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5, le terme manquant étant -5x.
-Enfin, le terme indépendant est: 1 -3 + a = -21 → a = -19.
- Exercice 2
Un terrain plat est clôturé comme indiqué sur la figure. Trouvez une expression pour:
a) Le périmètre et
b) Sa superficie, en termes de longueurs indiquées:
Figure 2. Un terrain plat est clôturé avec la forme et les dimensions indiquées. Source: F. Zapata.
Solution pour
Le périmètre est défini comme la somme des côtés et des contours de la figure. En commençant dans le coin inférieur gauche, dans le sens des aiguilles d'une montre, nous avons:
Périmètre = y + x + longueur du demi-cercle + z + longueur de la diagonale + z + z + x
Le demi-cercle a un diamètre égal à x. Puisque le rayon est la moitié du diamètre, vous devez:
Rayon = x / 2.
La formule pour la longueur d'une circonférence complète est:
L = 2π x rayon
Ensuite:
Longueur du demi-cercle = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Pour sa part, la diagonale est calculée avec le théorème de Pythagore appliqué sur les côtés: (x + y) qui est le côté vertical et z, qui est l'horizontale:
Diagonale = 1/2
Ces expressions se substituent à celle du périmètre, pour obtenir:
Périmètre = y + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
Les termes similaires sont réduits, car l'addition nécessite que le résultat soit simplifié autant que possible:
Périmètre = y + + z + z + z + 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z
Solution b
L'aire résultante est la somme de l'aire du rectangle, du demi-cercle et du triangle rectangle. Les formules pour ces domaines sont:
- Rectangle: base x hauteur
- Demi - cercle: ½ π (rayon) 2
- Triangle: base x hauteur / 2
Zone rectangle
(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz
Zone demi-cercle
½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Zone triangulaire
½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy
Superficie totale
Pour trouver la surface totale, les expressions trouvées pour chaque zone partielle sont ajoutées:
Surface totale = x 2 + xz + yz + x + (π x 2 /8) + zx + ½ ½ zy
Et enfin tous les termes similaires sont réduits:
Superficie totale = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx
Références
- Baldor, A. 1991. Algèbre. Éditorial Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
- Les mathématiques sont amusantes. Ajouter et soustraire des polynômes. Récupéré de: mathsisfun.com.
- Institut Monterey. Ajouter et soustraire des polynômes. Récupéré de: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Algèbre des polynômes. Récupéré de: math.berkeley.edu.