RÉSEAUX BRAVAIS: CONCEPT, CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Les réseaux de Bravais sont tous les quatorze cellules unitaires dimensionnelles qui peuvent être placées dans les atomes d'un cristal. Ces cellules sont constituées d'un agencement tridimensionnel de points qui forment une structure de base qui se répète périodiquement dans les trois directions spatiales.

L'origine de ce nom pour les structures cristallines de base remonte à 1850, quand Auguste Bravais a montré qu'il n'y avait que 14 cellules unitaires de base tridimensionnelles possibles.

Figure 1. Les réseaux de Bravais sont l'ensemble de 14 cellules unitaires nécessaires et suffisantes pour décrire toute structure cristalline. (wikimedia commons)

L'ensemble des 14 réseaux Bravais se subdivise en sept groupes ou structures selon la géométrie des cellules, ces sept groupes sont:

1- cubique

2- tétragonale

3- Orthorhombique

4- Trigonal-Hexagonal

5- Monoclinique

6- Triclinique

7- Trigonal

Chacune de ces structures définit une cellule unitaire, c'est la plus petite partie qui préserve la disposition géométrique des atomes dans le cristal.

Caractéristiques des réseaux Bravais

Les quatorze réseaux Bravais, comme mentionné ci-dessus, sont subdivisés en sept groupes. Mais chacun de ces groupes a ses cellules unitaires avec ses paramètres caractéristiques qui sont:

1- Le paramètre réseau (a, b, c)

2- Nombre d'atomes par cellule

3- Relation entre paramètre de réseau et rayon atomique

4- Numéro de coordination

5- Facteur d'emballage

6- espaces interstitiels

7- Par des traductions le long des vecteurs a, b, c la structure cristalline est répétée.

Réseaux cubiques

Il se compose du réseau simple ou cubique P, du réseau centré sur la face ou du réseau cubique F, et du réseau centré sur le corps ou réseau cubique I.

Tous les réseaux cubiques ont les trois paramètres de réseau correspondant aux directions x, y, z de même valeur:

a = b = c

Réseau cubique P

Il convient de noter que les atomes sont représentés par des sphères dont les centres sont aux sommets de la maille cubique P.

Dans le cas du réseau cubique P, le nombre d'atomes par cellule est de 1, car à chaque sommet, seul un huitième de l'atome se trouve à l'intérieur de la cellule unitaire, donc 8 * ⅛ = 1.

Le numéro de coordination indique le nombre d'atomes qui sont proches voisins dans le réseau cristallin. Dans le cas du réseau cubique P, le nombre de coordination est 6.

Réseau cubique I

Dans ce type de réseau, en plus des atomes aux sommets du cube, il y a un atome au centre du cube. Ainsi, le nombre d'atomes par maille élémentaire dans le réseau cubique P est de 2 atomes.

Figure 2. Réseau cubique centré sur le corps.

Réseau cubique F

C'est le réseau cubique qui en plus des atomes dans les sommets a un atome au centre de la face de chaque cube. Le nombre d'atomes par cellule est de 4, puisque chacun des six atomes de face a la moitié à l'intérieur de la cellule, c'est-à-dire 6 * ½ = 3 plus 8 * ⅛ = 1 aux sommets.

Figure 3. Réseau cubique à faces centrées.

Filet hexagonal

Dans ce cas, la cellule élémentaire est un prisme droit à base hexagonale. Les réseaux hexagonaux ont les trois paramètres de réseau correspondants remplissant la relation suivante:

a = b ≠ c

L'angle entre les vecteurs a et b étant de 120 °, comme indiqué sur la figure. Alors qu'entre les vecteurs a et c, ainsi qu'entre b et c, des angles droits se forment.

Figure 4. Réseau hexagonal.

Le nombre d'atomes par cellule sera calculé comme suit:

- Dans chacune des 2 bases du prisme hexagonal, il y a 6 atomes dans les six sommets. Chacun de ces atomes occupe les ⅙ de la maille élémentaire.

- Au centre de chacune des 2 bases hexagonales, il y a 1 atome qui occupe 1/2 cellule unitaire.

- Dans les 6 faces latérales du prisme hexagonal, il y a 3 atomes occupant chacun ⅔ de la maille élémentaire, et 3 atomes occupant chacun ⅓ du volume de la maille élémentaire.

(6 x ⅙) x 2 + ½ x 2 + ⅔ x 3 + ⅓ x 3 = 6

La relation entre les paramètres de réseau a et b avec le rayon atomique R sous l'hypothèse que tous les atomes sont de rayon égal et sont en contact est:

a / R = b / R = 2

Exemples

Les métaux sont les principaux exemples de structures cristallines et aussi les plus simples car ils sont généralement constitués d'un seul type d'atome. Mais il existe d'autres composés non métalliques qui forment également des structures cristallines, telles que le diamant, le quartz et bien d'autres.

- Le fer

Le fer a une simple cellule unitaire cubique avec un paramètre de réseau ou de bord a = 0,297 nm. Dans 1 mm, il y a 3,48 x 10 ^ 6 cellules unitaires.

- Le cuivre

Il a une structure cristalline cubique à faces centrées, composée uniquement d'atomes de cuivre.

- Gemmes précieuses

Les pierres précieuses sont des structures cristallines essentiellement du même composé, mais avec de petites portions d'impuretés qui sont souvent responsables de leur couleur.

diamant

Il est composé uniquement de carbone et ne contient aucune impureté, c'est pourquoi il est incolore. Le diamant a une structure cristalline cubique (isométrique-hexoctaédrique) et est le matériau le plus dur connu.

Quartz

Il est composé d'oxyde de silice, il est généralement incolore ou blanc. Sa structure cristalline est trigonale-trapézoédrique.

Rubis

La pierre gemme est généralement de couleur verte, a une structure monoclinique et est composée de silicate de fer-magnésium-calcium.

Topaze

Exercice 1

Trouvez la relation entre le paramètre de réseau et le rayon atomique pour un réseau cubique F.

Solution: Premièrement, on suppose que les atomes sont représentés comme des sphères de rayon R toutes en "contact" les unes avec les autres, comme le montre la figure. Un triangle rectangle se forme dans lequel il est vrai que:

(4 R) ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2 = 2 a ^ 2

Par conséquent, la relation arête-rayon est:

a / R = 4 / √2

Exercice 2

Trouvez la relation entre le paramètre de réseau et le rayon atomique pour un réseau cubique I (centré sur le corps).

Solution: les atomes sont supposés être représentés comme des sphères de rayon R toutes en "contact" les unes avec les autres, comme indiqué sur la figure.

Deux triangles rectangles sont formés, l'un de l'hypoténuse √2a et l'autre de l'hypoténuse √3a comme on peut le prouver en utilisant le théorème de Pythagore. De là, nous avons que la relation entre le paramètre de réseau et le rayon atomique pour un réseau cubique I (centré dans le corps) est:

a / R = 4 / √3

Exercice 3

Trouvez le facteur d'emballage F pour une maille élémentaire de structure cubique F (face cubique centrée) dans laquelle les atomes ont un rayon R et sont en "contact".

Solution: Le facteur d'emballage F est défini comme le quotient entre le volume occupé par les atomes dans la maille élémentaire et le volume de la maille:

F = V atomes / V cellule

Comme démontré ci-dessus, le nombre d'atomes par maille élémentaire dans un réseau cubique à faces centrées est de 4, donc le facteur d'emballage sera:

F = 4 / =…

… 4 / ^ 3 = (√2) π / 6 = 0,74

Références

1. Centre de ressources académiques Crystal Structures.. Extrait le 24 mai 2018 de: web.iit.edu
2. Cristaux. Récupéré le 26 mai 2018 de: thinkco.com
3. Pressbooks. 10.6 Structures en treillis dans les solides cristallins. Extrait le 26 mai 2018 de: opentextbc.ca
4. Ming. (2015, 30 juin). Types de structures cristallines. Récupéré le 26 mai 2018 de: crystalvisions-film.com
5. Helmenstine, Anne Marie, Ph.D. (31 janvier 2018). Types de
6. Kittel Charles (2013) Physique du solide, Physique de la matière condensée (8e édition). Wiley.
7. KHI. (2007). Structures cristallines. Extrait le 26 mai 2018 de: folk.ntnu.no
8. Wikipédia. Treillis de Bravais. Récupéré de: en.wikipedia.com.