LIGNES OBLIQUES: CARACTÉRISTIQUES, ÉQUATIONS ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les lignes obliques sont celles qui sont inclinées, soit par rapport à une surface plane, soit par une autre ligne indiquant une adresse particulière. À titre d'exemple, considérons les trois lignes dessinées dans un plan qui apparaissent dans la figure suivante.

Nous connaissons leurs positions relatives respectives parce que nous les comparons à une ligne de référence, qui est généralement l'axe des x désignant l'horizontale.

Figure 1. Lignes verticales, horizontales et obliques dans le même plan. Source: F. Zapata.

De cette manière, en choisissant l'horizontale comme référence, la ligne de gauche est verticale, celle du centre est horizontale et celle de droite est oblique, puisqu'elle est inclinée par rapport aux lignes de référence quotidiennes.

Or, les lignes qui sont sur le même plan, comme la surface du papier ou l'écran, occupent des positions différentes les unes par rapport aux autres, selon qu'elles se croisent ou non. Dans le premier cas, ce sont des lignes sécantes, tandis que dans le second, elles sont parallèles.

Par contre, les lignes sécantes peuvent être des lignes obliques ou des lignes perpendiculaires. Dans les deux cas, les pentes des droites sont différentes, mais les droites obliques forment entre elles des angles α et β différents de 90 °, tandis que les angles déterminés par les droites perpendiculaires sont toujours de 90 °.

La figure suivante résume ces définitions:

Figure 2. Positions relatives entre les lignes: parallèles, obliques et perpendiculaires diffèrent par l'angle qu'elles forment les unes avec les autres. Source: F. Zapata.

Équations

Pour connaître les positions relatives des lignes dans le plan, il est nécessaire de connaître l'angle entre elles. Notez que les lignes sont:

Parallèle: s'ils ont la même pente (la même direction) et ne se croisent jamais, leurs points sont donc équidistants.

Coïncidents: lorsque tous ses points coïncident et ont donc la même pente, mais que la distance entre ses points est nulle.

Séchoirs: si leurs pentes sont différentes, la distance entre leurs points varie et l'intersection est un seul point.

Donc, une façon de savoir si deux droites dans le plan sont sécantes ou parallèles est par leur pente. Les critères de parallélisme et de perpendicularité des droites sont les suivants:

Si, connaissant les pentes de deux droites dans le plan, aucun des critères ci-dessus n'est satisfait, nous concluons que les droites sont obliques. Connaissant deux points sur une ligne, la pente est calculée immédiatement, comme nous le verrons dans la section suivante.

Il est possible de savoir si deux droites sont sécantes ou parallèles en trouvant leur intersection, en résolvant le système d'équations qu'elles forment: s'il y a une solution ce sont des sécantes, s'il n'y a pas de solution elles sont parallèles, mais si les solutions sont infinies, les droites sont coïncidentes.

Cependant, ce critère ne nous renseigne pas sur l'angle entre ces lignes, même si elles se croisent.

Pour connaître l'angle entre les droites, nous avons besoin de deux vecteurs u et v qui appartiennent à chacun d'eux. Ainsi il est possible de connaître l'angle qu'ils forment au moyen du produit scalaire des vecteurs, défini de cette manière:

u • v = uvcos α

Équation de la ligne dans le plan

Une ligne dans le plan cartésien peut être représentée de plusieurs manières, telles que:

- Forme de pente-intersection: si m est la pente de la ligne et b est l'intersection de la ligne avec l'axe vertical, l'équation de la ligne est y = mx + b.

- Équation générale de la droite: Ax + By + C = 0, où m = A / B est la pente.

Dans le plan cartésien, les lignes verticales et horizontales sont des cas particuliers de l'équation de la ligne.

- Lignes verticales: x = a

- Lignes horizontales: y = k

Figure 3. A gauche la ligne verticale x = 4 et la ligne horizontale y = 6. A droite un exemple de ligne oblique. Source: F. Zapata.

Dans les exemples de la figure 3, la ligne verticale rouge a l'équation x = 4, tandis que la ligne parallèle à l'axe x (bleu) a l'équation y = 6. Quant à la ligne de droite, on voit qu'elle est oblique et pour trouver son équation, nous utilisons les points mis en évidence dans la figure: (0,2) et (4,0) de cette manière:

La coupe de cette ligne avec l'axe vertical est y = 2, comme on peut le voir sur le graphique. Avec ces informations:

La détermination de l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe x est facile. Je sens ça:

Par conséquent, l'angle positif de l'axe x à la ligne est: 180 ° - 26,6 ° = 153,4 °

Exemples de lignes obliques

Figure 4. Exemples de lignes obliques. Source: escrimeurs Ian Patterson. Tour penchée de Pise. Pixabay.

Des lignes obliques apparaissent à de nombreux endroits, il s'agit de faire attention à les retrouver dans l'architecture, le sport, le câblage électrique, la plomberie et dans bien d'autres endroits. Dans la nature les lignes obliques sont également présentes, comme nous le verrons ci-dessous:

Rayons de lumière

La lumière du soleil se déplace en ligne droite, mais la forme ronde de la Terre affecte la façon dont la lumière du soleil frappe la surface.

Dans l'image ci-dessous, nous pouvons clairement voir que les rayons du soleil frappent perpendiculairement dans les régions tropicales, mais atteignent plutôt obliquement la surface dans les régions tempérées et aux pôles.

C'est pourquoi les rayons du soleil parcourent une plus grande distance dans l'atmosphère et la chaleur se propage également sur une plus grande surface (voir figure). Le résultat est que les zones proches des pôles sont plus froides.

Figure 5. Les rayons du soleil tombent obliquement dans les zones tempérées et les pôles, au contraire ils sont plus ou moins perpendiculaires sous les tropiques. Source: Wikimedia Commons.

Lignes qui ne sont pas dans le même plan

Lorsque deux lignes ne sont pas dans le même plan, elles peuvent encore être obliques ou déformées, comme elles sont également connues. Dans ce cas, leurs vecteurs directeurs ne sont pas parallèles, mais comme ils n'appartiennent pas au même plan, ces lignes ne se croisent pas.

Par exemple, les lignes de la figure 6 à droite sont clairement dans des plans différents. Si vous les regardez d'en haut, vous pouvez voir qu'ils se croisent, mais ils n'ont pas de point commun. Sur la droite, nous voyons les roues du vélo, dont les rayons semblent se croiser vu de face.

Figure 6. Lignes obliques appartenant à différents plans. Source: gauche F. Zapata, droite Pixabay.

Références

1. Géométrie. Vecteur directeur d'une ligne. Récupéré de: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Calcul avec géométrie analytique. 8ème. Édition. McGraw Hill.
3. Les mathématiques sont un jeu. Lignes et angles. Récupéré de: juntadeandalucia.es.
4. Des lignes droites qui se croisent. Récupéré de: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Géométrie analytique en R3. Récupéré de: dspace.espol.edu.ec.