RAISONNEMENT ALGÉBRIQUE (AVEC EXERCICES RÉSOLUS) - MATEMATIQUES - 2025

Le raisonnement algébrique consiste essentiellement en un argument mathématique qui communique à travers un langage spécial, ce qui le rend plus rigoureux et des variables générales en utilisant des opérations algébriques définies et les unes des autres. Une caractéristique des mathématiques est la rigueur logique et la tendance abstraite utilisées dans ses arguments.

Cela nécessite de connaître la "grammaire" correcte à utiliser dans cette écriture. De plus, le raisonnement algébrique évite les ambiguïtés dans la justification d'un argument mathématique, ce qui est essentiel pour prouver tout résultat en mathématiques.

Variables algébriques

Une variable algébrique est simplement une variable (une lettre ou un symbole) qui représente un certain objet mathématique.

Par exemple, les lettres x, y, z, sont souvent utilisées pour représenter les nombres qui satisfont une équation donnée; les lettres p, qr, pour représenter des formules propositionnelles (ou leurs majuscules respectives pour représenter des propositions spécifiques); et les lettres A, B, X, etc., pour représenter des ensembles.

Le terme «variable» souligne que l'objet en question n'est pas fixe, mais varie. Tel est le cas d'une équation, dans laquelle des variables sont utilisées pour déterminer des solutions en principe inconnues.

En termes généraux, une variable algébrique peut être considérée comme une lettre qui représente un objet, qu'il soit fixe ou non.

Tout comme les variables algébriques sont utilisées pour représenter des objets mathématiques, nous pouvons également considérer des symboles pour représenter des opérations mathématiques.

Par exemple, le symbole «+» représente l'opération «addition». D'autres exemples sont les différentes notations symboliques des connecteurs logiques dans le cas des propositions et des ensembles.

Expressions algébriques

Une expression algébrique est une combinaison de variables algébriques au moyen d'opérations préalablement définies. Des exemples en sont les opérations de base d'addition, de soustraction, de multiplication et de division entre les nombres, ou les connecteurs logiques dans les propositions et les ensembles.

Le raisonnement algébrique est responsable de l'expression d'un raisonnement ou d'un argument mathématique à travers des expressions algébriques.

Cette forme d'expression permet de simplifier et d'abréger l'écriture, car elle utilise des notations symboliques et permet une meilleure compréhension du raisonnement, en le présentant de manière plus claire et plus précise.

Exemples

Regardons quelques exemples qui montrent comment le raisonnement algébrique est utilisé. Il est utilisé très régulièrement pour résoudre des problèmes de logique et de raisonnement, comme nous le verrons sous peu.

Considérons la proposition mathématique bien connue «la somme de deux nombres est commutative». Voyons comment nous pouvons exprimer cette proposition algébriquement: étant donné deux nombres "a" et "b", ce que signifie cette proposition est que a + b = b + a.

Le raisonnement utilisé pour interpréter l'énoncé initial et l'exprimer en termes algébriques est le raisonnement algébrique.

On pourrait également citer la fameuse expression «l'ordre des facteurs n'altère pas le produit», qui fait référence au fait que le produit de deux nombres est également commutatif, et est exprimé algébriquement par axb = bxa.

De même, les propriétés associatives et distributives pour l'addition et le produit, dans lesquelles la soustraction et la division sont incluses, peuvent être (et sont) exprimées algébriquement.

Ce type de raisonnement englobe un langage très large et est utilisé dans de nombreux contextes différents. Selon chaque cas, dans ces contextes, il est nécessaire de reconnaître des modèles, d'interpréter des phrases et de généraliser et formaliser leur expression en termes algébriques, en fournissant un raisonnement valide et séquentiel.

Exercices résolus

Voici quelques problèmes de logique, que nous allons résoudre en utilisant le raisonnement algébrique:

Premier exercice

Quel est le nombre qui, en en prenant la moitié, est égal à un?

Solution

Pour résoudre ce type d'exercice, il est très utile de représenter la valeur que l'on souhaite déterminer au moyen d'une variable. Dans ce cas, nous voulons trouver un nombre qui, en prenant la moitié, donne le numéro un. Notons x le nombre recherché.

"Prendre la moitié" d'un nombre implique de le diviser par 2. Ainsi, ce qui précède peut être exprimé algébriquement par x / 2 = 1, et le problème se résume à résoudre une équation, qui dans ce cas est linéaire et très facile à résoudre. En résolvant x, nous obtenons que la solution est x = 2.

En conclusion, 2 est le nombre qui en prenant la moitié est égal à 1.

Deuxième exercice

Combien de minutes jusqu'à minuit s'il y a 10 minutes 5/3 de ce qui reste maintenant?

Solution

Notons "z" le nombre de minutes jusqu'à minuit (toute autre lettre peut être utilisée). C'est-à-dire qu'à l'heure actuelle, il y a «z» minutes jusqu'à minuit. Cela implique qu'il y a 10 minutes, il manquait «z + 10» minutes pour minuit, ce qui correspond à 5/3 de ce qui manque maintenant; c'est-à-dire (5/3) z.

Ensuite, le problème se résume à résoudre l'équation z + 10 = (5/3) z. En multipliant les deux côtés de l'égalité par 3, nous obtenons l'équation 3z + 30 = 5z.

Or, en regroupant la variable "z" sur un côté de l'égalité, on obtient que 2z = 15, ce qui implique que z = 15.

Il est donc 15 minutes avant minuit.

Troisième exercice

Dans une tribu qui pratique le troc, il y a ces équivalences:

- Une lance et un collier sont échangés contre un bouclier.

- Une lance équivaut à un couteau et un collier.

- Deux boucliers sont échangés contre trois unités de couteaux.

À combien de colliers correspond une lance?

Solution

Sean:

Co = un collier

L = une lance

E = un bouclier

Cu = un couteau

Nous avons donc les relations suivantes:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Le problème se résume donc à résoudre un système d'équations. Bien qu'il ait plus d'inconnues que d'équations, ce système peut être résolu, car ils ne nous demandent pas une solution spécifique mais une des variables en fonction d'une autre. Ce que nous devons faire est d'exprimer "Co" en termes de "L" exclusivement.

A partir de la deuxième équation, nous avons que Cu = L - Co. En substituant à la troisième, nous obtenons que E = (3L - 3Co) / 2. Enfin, en substituant dans la première équation et en simplifiant on obtient que 5Co = L; autrement dit, une lance équivaut à cinq colliers.

Références

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