Les types d'intégrales que nous trouvons dans le calcul sont les intégrales indéfinies et les intégrales définies. Bien que les intégrales définies aient beaucoup plus d'applications que les intégrales indéfinies, il est nécessaire d'apprendre d'abord à résoudre des intégrales indéfinies.
L'une des applications les plus intéressantes des intégrales définies est le calcul du volume d'un solide de révolution. Les deux types d'intégrales ont les mêmes propriétés de linéarité et les techniques d'intégration ne dépendent pas du type d'intégrale.
Solide de révolution
Mais en dépit d'être très similaire, il y a une différence principale; dans le premier type d'intégrale, le résultat est une fonction (qui n'est pas spécifique) tandis que dans le second type, le résultat est un nombre.
Types d'intégrales de base
Le monde des intégrales est très large, mais en son sein, nous pouvons distinguer deux types de base d'intégrales, qui ont une grande applicabilité dans la vie quotidienne.
1- Intégrales indéfinies
Si F '(x) = f (x) pour tout x dans le domaine de f, on dit que F (x) est une primitive, une primitive ou une intégrale de f (x).
Par contre, observons que (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ce qui implique que l'intégrale d'une fonction n'est pas unique, car en donnant des valeurs différentes à la constante C nous obtiendrons différentes les primitifs.
Pour cette raison F (x) + C s'appelle l'intégrale indéfinie de f (x) et C s'appelle la constante d'intégration et on l'écrit de la manière suivante
Intégrale indéfinie
Comme on peut le voir, l'intégrale indéfinie de la fonction f (x) est une famille de fonctions.
Par exemple, si vous voulez trouver l'intégrale indéfinie de la fonction f (x) = 3x², vous devez d'abord trouver une primitive de f (x).
Il est facile de voir que F (x) = x³ est une primitive, puisque F '(x) = 3x². Par conséquent, on peut conclure que
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Intégrales définies
Soit y = f (x) une fonction réelle continue sur un intervalle fermé et soit F (x) une primitive de f (x). L'intégrale définie de f (x) entre les limites a et b est appelée le nombre F (b) -F (a), et est notée comme suit
Théorème fondamental du calcul
La formule ci-dessus est mieux connue sous le nom de «Théorème fondamental du calcul». Ici, "a" est appelé la limite inférieure et "b" est appelée la limite supérieure. Comme vous pouvez le voir, l'intégrale définie d'une fonction est un nombre.
Dans ce cas, si l'intégrale définie de f (x) = 3x² est calculée dans l'intervalle, un nombre sera obtenu.
Pour déterminer ce nombre, nous choisissons F (x) = x³ comme primitive de f (x) = 3x². Ensuite, nous calculons F (3) -F (0) ce qui nous donne le résultat 27-0 = 27. En conclusion, l'intégrale définie de f (x) sur l'intervalle est 27.
On peut noter que si G (x) = x³ + 3 est choisi, alors G (x) est une primitive de f (x) différente de F (x), mais cela n'affecte pas le résultat puisque G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Pour cette raison, la constante d'intégration n'apparaît pas dans les intégrales définies.
L'une des applications les plus utiles de ce type d'intégrale est qu'elle permet de calculer l'aire (volume) d'une figure plane (d'un solide de révolution), en établissant des fonctions appropriées et des limites d'intégration (et un axe de rotation).
Dans les intégrales définies, nous pouvons en trouver diverses extensions, telles que des intégrales de ligne, des intégrales de surface, des intégrales incorrectes, des intégrales multiples, entre autres, toutes avec des applications très utiles en science et en ingénierie.
Références
- Casteleiro, JM (2012). Est-ce facile à intégrer? Manuel d'auto-apprentissage. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM et Gómez-Álvarez, RP (2002). Calcul intégral (éd. Illustré). Madrid: Éditorial ESIC.
- Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques du précalcul. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques précalculeuses: une approche de résolution de problèmes (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Calcul intégral. Éditeurs et distributeurs de l'Atlantique.
- Purcell, EJ, Varberg, D., et Rigdon, SE (2007). Calculus (neuvième éd.). Prentice Hall.