QUE SONT LES VECTEURS COPLANAIRES? (AVEC DES EXERCICES RÉSOLUS) - PHYSIQUE - 2024

Les vecteurs coplanaires ou coplanaires sont ceux qui sont contenus sur le même plan. Lorsqu'il n'y a que deux vecteurs, ceux-ci sont toujours coplanaires, puisqu'il y a des plans infinis, il est toujours possible d'en choisir un qui les contient.

Si vous avez trois vecteurs ou plus, il se peut que certains d'entre eux ne soient pas dans le même plan que les autres, ils ne peuvent donc pas être considérés comme coplanaires. La figure suivante montre un ensemble de vecteurs coplanaires indiqués en gras A, B, C et D:

Figure 1. Quatre vecteurs coplanaires. Source: self made.

Les vecteurs sont liés au comportement et aux propriétés des grandeurs physiques pertinentes pour la science et l'ingénierie; par exemple la vitesse, l'accélération et la force.

Une force produit différents effets sur un objet lorsque la manière dont elle est appliquée est modifiée, par exemple en changeant d'intensité, de direction et de direction. Même en ne modifiant qu'un seul de ces paramètres, les résultats sont considérablement différents.

Dans de nombreuses applications, à la fois en statique et en dynamique, les forces agissant sur un corps sont sur le même plan, elles sont donc considérées comme coplanaires.

Conditions pour que les vecteurs soient coplanaires

Pour que trois vecteurs soient coplanaires, ils doivent se trouver sur le même plan et cela se produit s'ils remplissent l'une des conditions suivantes:

-Les vecteurs sont parallèles, donc leurs composants sont proportionnels et linéairement dépendants.

-Votre produit mixte est nul.

-Si vous avez trois vecteurs et que l'un d'entre eux peut être écrit comme une combinaison linéaire des deux autres, ces vecteurs sont coplanaires. Par exemple, un vecteur qui résulte de la somme de deux autres, les trois sont tous dans le même plan.

Alternativement, la condition de coplanarité peut être définie comme suit:

Produit mixte entre trois vecteurs

Le produit mixte entre les vecteurs est défini avec trois vecteurs u, v et w, résultant en un scalaire qui résulte de l'exécution de l'opération suivante:

u · (v x w) = u · (v x w)

Tout d'abord, le produit croisé qui est entre parenthèses est effectué: v x w , dont le résultat est un vecteur normal (perpendiculaire) au plan dans lequel v et w se trouvent .

Si u est sur le même plan que v et w , naturellement le produit scalaire (produit scalaire) entre u et ledit vecteur normal doit être égal à 0. On vérifie ainsi que les trois vecteurs sont coplanaires (ils se trouvent sur le même plan).

Lorsque le produit mixte n'est pas nul, son résultat est égal au volume du parallélépipède qui a les vecteurs u , v et w comme côtés adjacents.

Applications

Forces coplanaires, concurrentes et non colinéaires

Les forces concurrentes sont toutes appliquées au même point. S'ils sont également coplanaires, ils peuvent être remplacés par un seul, qui s'appelle la force résultante et a le même effet que les forces d'origine.

Si un corps est en équilibre grâce à trois forces coplanaires, concurrentes et non colinéaires (non parallèles), appelées A , B et C, le théorème de Lamy indique que la relation entre ces forces (magnitudes) est la suivante:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Avec α, β et γ comme angles opposés aux forces appliquées, comme le montre la figure suivante:

Figure 2. Trois forces coplanaires A, B et C agissent sur un objet. Source: Kiwakwok sur Wikipedia anglais

Exercices résolus

-Exercice 1

Trouvez la valeur de k pour que les vecteurs suivants soient coplanaires:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Solution

Puisque nous avons les composantes des vecteurs, le critère du produit mixte est utilisé, donc:

u (v x w) = 0

Résolvez d'abord v x w. Les vecteurs seront exprimés en termes de vecteurs unitaires i, j et k qui distinguent les trois directions perpendiculaires dans l'espace (largeur, hauteur et profondeur):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nous considérons maintenant le produit scalaire entre u et le vecteur résultant de l'opération précédente, en définissant l'opération égale à 0:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

La valeur recherchée est: k = - 6

Donc le vecteur u est:

u = <-3, -6, 2>

-Exercice 2

La figure montre un objet dont le poids est W = 600 N, suspendu en équilibre grâce aux câbles placés aux angles indiqués sur la figure 3. Est-il possible d'appliquer le théorème de Lamy dans cette situation? Dans tous les cas, trouvez les grandeurs de T ₁, T ₂ et T ₃ qui rendent l'équilibre possible.

Figure 3. Un poids est suspendu en équilibre sous l'action des trois contraintes représentées. Source: self made.

Solution

Le théorème de Lamy est applicable dans cette situation si l'on considère le nœud sur lequel les trois contraintes sont appliquées, puisqu'elles constituent un système de forces coplanaires. Tout d'abord, le diagramme du corps libre pour le poids suspendu est fait, afin de déterminer la magnitude de T _3:

Figure 4. Diagramme du corps libre pour le poids suspendu. Source: self made.

De la condition d'équilibre, il découle que:

Les angles entre les forces sont marqués en rouge sur la figure suivante, on peut facilement vérifier que leur somme est de 360 ​​°. Il est maintenant possible d'appliquer le théorème de Lamy, puisque l'une des forces et les trois angles entre elles sont connus:

Figure 5.- En rouge les angles pour appliquer le théorème de Lamy. Source: self made.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Par conséquent: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Encore une fois, le théorème de Lamy est appliqué pour résoudre T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Références

1. Figueroa, D. Série: Physique pour les sciences et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. 31-68.
2. Physique. Module 8: Vecteurs. Récupéré de: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mécanique pour les ingénieurs. Statique 6e édition. Continental Publishing Company.28-66.
4. McLean, série W. Schaum. Mécanique pour les ingénieurs: statique et dynamique. 3e édition. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipédia. Vecteur. Récupéré de: es.wikipedia.org.