- Limites de fonction
- Y a-t-il des limites plus compliquées?
- Exemples de limites trigonométriques simples
- Identités des limites trigonométriques
- Exercices résolus
- Observation
- Références
Les limites trigonométriques sont des limites de fonctions telles que ces fonctions sont formées par des fonctions trigonométriques.
Deux définitions doivent être connues pour comprendre comment calculer une limite trigonométrique.
Ces définitions sont:
- Limite d'une fonction «f» lorsque «x» tend vers «b»: elle consiste à calculer la valeur à laquelle f (x) s'approche lorsque «x» s'approche de «b», sans atteindre «b» ».
- Fonctions trigonométriques: les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente, notées respectivement sin (x), cos (x) et tan (x).
Les autres fonctions trigonométriques sont obtenues à partir des trois fonctions mentionnées ci-dessus.
Limites de fonction
Pour clarifier le concept de limite de fonction, nous allons continuer à montrer quelques exemples avec des fonctions simples.
- La limite de f (x) = 3 lorsque "x" tend vers "8" est égale à "3", puisque la fonction est toujours constante. Quelle que soit la valeur de "x", la valeur de f (x) sera toujours "3".
- La limite de f (x) = x-2 lorsque «x» tend vers «6» est «4». Depuis quand "x" s'approche de "6" alors "x-2" s'approche de "6-2 = 4".
- La limite de g (x) = x² lorsque "x" tend vers "3" est égale à 9, puisque lorsque "x" s'approche de "3" alors "x²" s'approche de "3² = 9".
Comme on peut le voir dans les exemples précédents, le calcul d'une limite consiste à évaluer la valeur vers laquelle tend "x" dans la fonction, et le résultat sera la valeur de la limite, bien que cela ne soit vrai que pour les fonctions continues.
Y a-t-il des limites plus compliquées?
La réponse est oui. Les exemples ci-dessus sont les exemples les plus simples de limites. Dans les livres de calcul, les principaux exercices de limites sont ceux qui génèrent une indétermination de type 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 et (∞) ^ 0.
Ces expressions sont appelées des indéterminations car ce sont des expressions qui n'ont pas de sens mathématiquement.
De plus, selon les fonctions impliquées dans la limite d'origine, le résultat obtenu lors de la résolution des indéterminations peut être différent dans chaque cas.
Exemples de limites trigonométriques simples
Pour résoudre les limites, il est toujours très utile de connaître les graphes des fonctions impliquées. Les graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente sont présentés ci-dessous.
Quelques exemples de limites trigonométriques simples sont:
- Calculer la limite de sin (x) lorsque «x» tend vers «0».
En regardant le graphique, on peut voir que si "x" se rapproche de "0" (à la fois de la gauche et de la droite), alors le graphique sinus se rapproche également de "0". Par conséquent, la limite de sin (x) lorsque "x" tend vers "0" est "0".
- Calculer la limite de cos (x) lorsque «x» tend vers «0».
En observant le graphique du cosinus, on peut voir que lorsque "x" est proche de "0" alors le graphique du cosinus est proche de "1". Cela implique que la limite de cos (x) lorsque "x" tend vers "0" est égale à "1".
Une limite peut exister (être un nombre), comme dans les exemples précédents, mais il peut aussi arriver qu'elle n'existe pas comme le montre l'exemple suivant.
- La limite de tan (x) lorsque «x» tend vers «Π / 2» à partir de la gauche est égale à «+ ∞», comme on peut le voir sur le graphique. D'autre part, la limite de tan (x) lorsque "x" tend vers "-Π / 2" à partir de la droite est égale à "-∞".
Identités des limites trigonométriques
Deux identités très utiles lors du calcul des limites trigonométriques sont:
- La limite de «sin (x) / x» lorsque «x» tend vers «0» est égale à «1».
- La limite de «(1-cos (x)) / x» lorsque «x» tend vers «0» est égale à «0».
Ces identités sont utilisées très souvent lorsque vous avez une sorte d'indétermination.
Exercices résolus
Résolvez les limites suivantes en utilisant les identités décrites ci-dessus.
- Calculer la limite de «f (x) = sin (3x) / x» lorsque «x» tend vers «0».
Si la fonction "f" est évaluée à "0", une indétermination de type 0/0 sera obtenue. Il faut donc essayer de résoudre cette indétermination en utilisant les identités décrites.
La seule différence entre cette limite et l'identité est le chiffre 3 qui apparaît dans la fonction sinus. Pour appliquer l'identité, la fonction «f (x)» doit être réécrite de la manière suivante «3 * (sin (3x) / 3x)». Maintenant, l'argument sinus et le dénominateur sont égaux.
Ainsi, lorsque "x" tend vers "0", l'utilisation de l'identité donne "3 * 1 = 3". Par conséquent, la limite de f (x) lorsque "x" tend vers "0" est égale à "3".
- Calculer la limite de «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» lorsque «x» tend vers «0».
Lorsque "x = 0" est substitué dans g (x), une indétermination de type ∞-∞ est obtenue. Pour le résoudre, les fractions sont d'abord soustraites, ce qui donne "(1-cos (x)) / x".
Maintenant, en appliquant la deuxième identité trigonométrique, nous avons que la limite de g (x) lorsque «x» tend vers «0» est égale à 0.
- Calculer la limite de «h (x) = 4tan (5x) / 5x» lorsque «x» tend vers «0».
De nouveau, si h (x) est évalué à "0", une indétermination de type 0/0 sera obtenue.
La réécriture comme (5x) comme sin (5x) / cos (5x) donne h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).
En utilisant que la limite de 4 / cos (x) lorsque "x" tend vers "0" est égale à "4/1 = 4" et que la première identité trigonométrique est obtenue que la limite de h (x) lorsque "x" tend un "0" est égal à "1 * 4 = 4".
Observation
Les limites trigonométriques ne sont pas toujours faciles à résoudre. Seuls des exemples de base ont été présentés dans cet article.
Références
- Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques du précalcul. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques précalculeuses: une approche de résolution de problèmes (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W. et Varberg, D. (1991). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). Precalculus (8 éd.). Apprentissage Cengage.
- Leal, JM et Viloria, NG (2005). Géométrie analytique plane. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
- Pérez, CD (2006). Précalcul. Pearson Education.
- Purcell, EJ, Varberg, D., et Rigdon, SE (2007). Calculus (neuvième éd.). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Calcul différentiel avec fonctions transcendantes précoces pour la science et l'ingénierie (deuxième édition éd.). Hypoténuse.
- Scott, Californie (2009). Cartésian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (réimpression ed.). Source de foudre.
- Sullivan, M. (1997). Précalcul. Pearson Education.