QUE SONT LES ÉQUATIONS SIMULTANÉES? (EXERCICES RÉSOLUS) - MATEMATIQUES - 2025

Les équations simultanées sont les équations qui doivent être rencontrées en même temps. Par conséquent, pour avoir des équations simultanées, vous devez avoir plus d'une équation.

Lorsque vous avez deux ou plusieurs équations différentes, qui doivent avoir la même solution (ou les mêmes solutions), on dit que vous avez un système d'équations ou on dit aussi que vous avez des équations simultanées.

Lorsque nous avons des équations simultanées, il peut arriver qu'elles n'aient pas de solutions communes ou aient une quantité finie ou aient une quantité infinie.

Équations simultanées

Étant donné deux équations différentes Eq1 et Eq2, il s'ensuit que le système de ces deux équations est appelé équations simultanées.

Les équations simultanées vérifient que si S est une solution de Eq1 alors S est aussi une solution de Eq2 et vice versa

caractéristiques

Quand il s'agit d'un système d'équations simultanées, vous pouvez avoir 2 équations, 3 équations ou N équations.

Les méthodes les plus couramment utilisées pour résoudre des équations simultanées sont: la substitution, l'égalisation et la réduction. Il existe également une autre méthode appelée règle de Cramer, qui est très utile pour les systèmes de plus de deux équations simultanées.

Un exemple d'équations simultanées est le système

Éq1: x + y = 2

Éq2: 2x-y = 1

On peut voir que x = 0, y = 2 est une solution de Eq1 mais ce n'est pas une solution de Eq2.

La seule solution commune aux deux équations est x = 1, y = 1. Autrement dit, x = 1, y = 1 est la solution du système d'équations simultanées.

Exercices résolus

Ensuite, nous procédons à la résolution du système d'équations simultanées montré ci-dessus, à travers les 3 méthodes mentionnées.

Premier exercice

Résolvez le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode de substitution.

Solution

La méthode de substitution consiste à résoudre l'une des inconnues dans l'une des équations puis à la remplacer dans l'autre équation. Dans ce cas particulier, on peut résoudre "y" à partir de Eq1 et on obtient que y = 2-x.

En substituant cette valeur de «y» dans Eq2, on obtient que 2x- (2-x) = 1. Par conséquent, nous obtenons que 3x-2 = 1, c'est-à-dire x = 1.

Ensuite, puisque la valeur de x est connue, elle est remplacée par "y" et on obtient que y = 2-1 = 1.

Par conséquent, la seule solution au système d'équations simultanées Eq1 et Eq2 est x = 1, y = 1.

Deuxième exercice

Résolvez le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode d'appariement.

Solution

La méthode d'appariement consiste à résoudre la même inconnue dans les deux équations, puis à faire correspondre les équations résultantes.

En résolvant "x" à partir des deux équations, nous obtenons que x = 2-y, et que x = (1 + y) / 2. Maintenant, ces deux équations sont assimilées et nous obtenons que 2-y = (1 + y) / 2, d'où il résulte que 4-2y = 1 + y.

Regrouper l'inconnu «y» du même côté donne y = 1. Maintenant que "y" est connu, nous procédons à la recherche de la valeur de "x". En remplaçant y = 1, nous obtenons que x = 2-1 = 1.

Par conséquent, la solution commune entre les équations Eq1 et Eq2 est x = 1, y = 1.

Troisième exercice

Résolvez le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode de réduction.

Solution

La méthode de réduction consiste à multiplier les équations données par les coefficients appropriés, de sorte que lors de l'addition de ces équations l'une des variables est annulée.

Dans cet exemple particulier, il n'est pas nécessaire de multiplier une équation par un coefficient, il suffit de les ajouter. En ajoutant Eq1 plus Eq2, nous obtenons que 3x = 3, à partir de laquelle nous obtenons que x = 1.

Lors de l'évaluation de x = 1 dans Eq1, nous obtenons que 1 + y = 2, d'où il résulte que y = 1.

Par conséquent, x = 1, y = 1 est la seule solution aux équations simultanées Eq1 et Eq2.

Quatrième exercice

Résolvez le système d'équations simultanées Eq1: 2x-3y = 8 et Eq2: 4x-3y = 12.

Solution

Dans cet exercice, aucune méthode particulière n'est requise, par conséquent, la méthode la plus confortable pour chaque lecteur peut être appliquée.

Dans ce cas, la méthode de réduction sera utilisée. Multiplier Eq1 par -2 donne l'équation Eq3: -4x + 6y = -16. Maintenant, en ajoutant Eq3 et Eq2, nous obtenons que 3y = -4, donc y = -4 / 3.

Maintenant, en évaluant y = -4 / 3 dans Eq1, nous obtenons que 2x-3 (-4/3) = 8, d'où 2x + 4 = 8, donc, x = 2.

En conclusion, la seule solution au système d'équations simultanées Eq1 et Eq2 est x = 2, y = -4 / 3.

Observation

Les méthodes décrites dans cet article peuvent être appliquées à des systèmes avec plus de deux équations simultanées.

Plus il y a d'équations et d'inconnues, plus la procédure de résolution du système est compliquée.

Toute méthode de résolution de systèmes d'équations produira les mêmes solutions, c'est-à-dire que les solutions ne dépendent pas de la méthode appliquée.

Références

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