Un corollaire est un résultat largement utilisé en géométrie pour indiquer un résultat immédiat de quelque chose de déjà prouvé. Les corollaires apparaissent généralement en géométrie après qu'un théorème a été prouvé.
Parce qu'ils sont le résultat direct d'un théorème prouvé ou d'une définition connue, les corollaires ne nécessitent pas de preuve. Ce sont des résultats très faciles à vérifier et leur preuve est donc omise.
Les corollaires sont des termes qui se trouvent principalement dans le domaine des mathématiques. Mais il ne se limite pas à être utilisé uniquement dans le domaine de la géométrie.
Le mot corollaire vient du latin Corollarium, et est couramment utilisé en mathématiques, ayant une plus grande apparence dans les domaines de la logique et de la géométrie.
Lorsqu'un auteur utilise un corollaire, il dit que ce résultat peut être découvert ou déduit par le lecteur lui-même, en utilisant comme outil un théorème ou une définition précédemment expliqué.
Exemples de corollaires
Voici deux théorèmes (qui ne seront pas prouvés), chacun suivi d'un ou plusieurs corollaires qui sont déduits dudit théorème. En outre, une brève explication de la façon dont le corollaire est démontré est jointe.
Théorème 1
Dans un triangle rectangle, il est vrai que c² = a² + b², où a, b et c sont respectivement les jambes et l'hypoténuse du triangle.
Corollaire 1.1
L'hypoténuse d'un triangle rectangle est plus longue que n'importe laquelle des jambes.
Explication: ayant c² = a² + b², on peut en déduire que c²> a² et c²> b², d'où l'on conclut que "c" sera toujours supérieur à "a" et "b".
Théorème 2
La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180º.
Corollaire 2.1
Dans un triangle rectangle, la somme des angles adjacents à l'hypoténuse est égale à 90º.
Explication: dans un triangle rectangle il y a un angle droit, c'est-à-dire que sa mesure est égale à 90º. En utilisant le théorème 2, nous avons que 90 °, plus les mesures des deux autres angles adjacents à l'hypoténuse, est égal à 180 °. En résolvant, on obtiendra que la somme des mesures des angles adjacents est égale à 90º.
Corollaire 2.2
Dans un triangle rectangle, les angles adjacents à l'hypoténuse sont aigus.
Explication: en utilisant le corollaire 2.1, on constate que la somme des mesures des angles adjacents à l'hypoténuse est égale à 90 °, par conséquent, la mesure des deux angles doit être inférieure à 90 ° et par conséquent, ces angles sont aigus.
Corollaire 2.3
Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits.
Explication: si un triangle a deux angles droits, alors l'addition des mesures des trois angles donnera un nombre supérieur à 180 °, ce qui n'est pas possible grâce au théorème 2.
Corollaire 2.4
Un triangle ne peut pas avoir plus d'un angle obtus.
Explication: si un triangle a deux angles obtus, l'addition de leurs mesures donnera un résultat supérieur à 180 °, ce qui contredit le théorème 2.
Corollaire 2.5
Dans un triangle équilatéral, la mesure de chaque angle est de 60 °.
Explication: un triangle équilatéral est également équiangulaire, par conséquent, si "x" est la mesure de chaque angle, alors l'addition de la mesure des trois angles donnera 3x = 180º, d'où l'on conclut que x = 60º.
Références
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- Viloria, N., et Leal, J. (2005). Géométrie analytique plane. Éditorial Venezolana CA