QUEL EST LE NUMÉRO PRANDTL? (VALEURS EN GAZ ET LIQUIDES) - PHYSIQUE - 2025

Le nombre de Prandtl, abrégé Pr, est une grandeur sans dimension qui relie la diffusivité de l'impulsion, à travers la viscosité cinématique ν (lettre grecque qui se lit «nu») d'un fluide, avec sa diffusivité thermique α sous la forme de quotient:

Figure 1. L'ingénieur allemand Ludwig Prandtl dans son laboratoire de Hanovre en 1904. Source: Wikimedia Commons.

En termes de coefficient de viscosité du fluide ou de viscosité dynamique μ, de chaleur spécifique du fluide C _p et de son coefficient de conductivité thermique K, le nombre de Prandtl est également exprimé mathématiquement comme suit:

Cette quantité porte le nom du scientifique allemand Ludwig Prandtl (1875–1953), qui a grandement contribué à la mécanique des fluides. Le nombre de Prandtl est l'un des nombres importants pour modéliser l'écoulement des fluides et en particulier la manière dont la chaleur y est transférée par convection.

De la définition donnée, il s'ensuit que le nombre de Prandtl est une caractéristique du fluide, car il dépend de ses propriétés. Grâce à cette valeur, la capacité du fluide à transférer l'impulsion et la chaleur peut être comparée.

Convection naturelle et forcée dans les fluides

La chaleur est transmise à travers un milieu par divers mécanismes: convection, conduction et rayonnement. Lorsqu'il y a mouvement au niveau macroscopique du fluide, c'est-à-dire qu'il y a un mouvement massif du fluide, la chaleur y est rapidement transmise à travers le mécanisme de convection.

En revanche, lorsque le mécanisme prépondérant est la conduction, le mouvement du fluide se produit au niveau microscopique, soit atomique, soit moléculaire, selon le type de fluide, mais toujours plus lentement que par convection.

La vitesse du fluide et le régime d'écoulement qu'il a - laminaire ou turbulent - influence également cela, car plus il se déplace rapidement, plus le transfert de chaleur est également rapide.

La convection se produit naturellement lorsque le fluide se déplace en raison d'une différence de température, par exemple lorsqu'une masse d'air chaud monte et une autre d'air froid descend. Dans ce cas, on parle de convection naturelle.

Mais la convection peut également être forcée en utilisant un ventilateur pour forcer l'air à circuler, ou une pompe pour mettre l'eau en mouvement.

Quant au fluide, il peut circuler à travers un tube fermé (fluide confiné), un tube ouvert (tel qu'un canal par exemple) ou une surface ouverte.

Dans toutes ces situations, le nombre de Prandtl peut être utilisé pour modéliser le transfert de chaleur, ainsi que d'autres nombres importants en mécanique des fluides, tels que le nombre de Reynolds, le nombre de Mach, le nombre de Grashoff, le nombre de Nusselt, la rugosité ou la rugosité du tuyau et plus encore.

Définitions importantes du transfert de chaleur dans un fluide

Outre les propriétés du fluide, la géométrie de la surface intervient également dans le transport de chaleur, ainsi que le type d'écoulement: laminaire ou turbulent. Étant donné que le nombre de Prandtl implique de nombreuses définitions, voici un bref résumé des plus importantes:

Viscosité dynamique

C'est la résistance naturelle d'un fluide à l'écoulement, due aux différentes interactions entre ses molécules. Il est noté μ et ses unités dans le système international (SI) sont Ns / m ² (newton x seconde / mètre carré) ou Pa.s (pascal x seconde), appelé poise. Il est beaucoup plus élevé dans les liquides que dans les gaz et dépend de la température du fluide.

Viscosité cinématique

Il est noté ν (lettre grecque qui se lit «nu») et se définit comme le rapport entre la viscosité dynamique μ et la densité ρ d'un fluide:

Ses unités sont de m ² / s.

Conductivité thermique

Elle est définie comme la capacité des matériaux à conduire la chaleur à travers eux. C'est une quantité positive et ses unités sont Wm / K (watt x mètre / kelvin).

Chaleur spécifique

Quantité de chaleur qui doit être ajoutée à 1 kilogramme de substance pour augmenter sa température de 1 ºC.

Diffusivité thermique

Est défini comme:

Les unités de diffusivité thermique sont les mêmes que celles de viscosité cinématique: m ² / s.

Description mathématique du transfert de chaleur

Il existe une équation mathématique qui modélise la transmission de la chaleur à travers le fluide, considérant que ses propriétés telles que la viscosité, la densité et autres restent constantes:

T est la température, fonction du temps t et du vecteur de position r, tandis que α est la diffusivité thermique précitée et Δ est l'opérateur laplacien. En coordonnées cartésiennes, cela ressemblerait à ceci:

Rugosité

Rugosité et irrégularités sur la surface à travers laquelle circule le fluide, par exemple sur la face interne de la canalisation où circule l'eau.

Écoulement laminaire

Il fait référence à un fluide qui s'écoule en couches, de manière douce et ordonnée. Les couches ne s'entremêlent pas et le fluide se déplace le long des soi-disant lignes de courant.

Figure 2. La colonne de fumée a un régime laminaire au début, mais des volutes indicatives d'un régime turbulent apparaissent. Source: Pixabay.

Écoulement turbulent

Dans ce cas, le fluide se déplace de manière désordonnée et ses particules forment des tourbillons.

Valeurs des nombres de Prandtl dans les gaz et les liquides

Dans les gaz, l'ordre de grandeur de la viscosité cinématique et de la diffusivité thermique est donné par le produit de la vitesse moyenne des particules et du libre parcours moyen. Cette dernière est la valeur de la distance moyenne parcourue par une molécule de gaz entre deux collisions.

Les deux valeurs sont très similaires, donc le nombre de Prandtl Pr est proche de 1. Par exemple, pour l'air Pr = 0,7. Cela signifie que l'élan et la chaleur sont transmis à peu près également rapidement dans les gaz.

Dans les métaux liquides, cependant, Pr est inférieur à 1, car les électrons libres conduisent beaucoup mieux la chaleur que l'impulsion. Dans ce cas, ν est inférieur à α et Pr <1. Un bon exemple est le sodium liquide, utilisé comme réfrigérant dans les réacteurs nucléaires.

L'eau est un conducteur de chaleur moins efficace, avec Pr = 7, ainsi que les huiles visqueuses, dont le nombre de Prandtl est beaucoup plus élevé, et peuvent atteindre 100000 pour les huiles lourdes, ce qui signifie que la chaleur y est transmise avec très lent, par rapport à l'élan.

Tableau 1. Ordre de grandeur du nombre de Prandtl pour différents fluides

Fluide	ν (m 2 / s)	α (m 2 / s)	Pr
Manteau terrestre	10 17	10 -6	10 23
Couches intérieures du soleil	10 -2	10 2	10 -4
Atmosphère de la terre	10 -5	10 -5	une
Océan	10 -6	10 -7	dix

Exemple

Les diffusivités thermiques de l'eau et de l'air à 20 ºC sont respectivement de 0,00142 et 0,208 cm ² / s. Trouvez les nombres Prandtl pour l'eau et l'air.

Solution

La définition donnée au début s'applique, puisque l'énoncé donne les valeurs de α:

Et quant aux valeurs de ν, on peut les retrouver dans un tableau de propriétés des fluides, oui, il faut faire attention que ν soit dans les mêmes unités de α et qu'elles soient valides à 20 ºC:

ν _air = 1,51x 10 ^-5 m ² / s = 0,151 cm ² / s; ν _eau = 1,02 x 10 ^-6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

Donc:

Pr (air) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (eau) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

Références

1. Chimie organique. Thème 3: Convection. Récupéré de: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Problèmes résolus de mécanique des fluides. Série Schaum. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Introduction à la mécanique des fluides. Presse d'université d'Oxford.
4. Thorne, K. 2017. Physique classique moderne. Princeton et Oxford University Press.
5. UNET. Phénomènes de transport. Récupéré de: unet.edu.ve.
6. Wikipédia. Numéro Prandtl. Récupéré de: en.wikipedia.org.
7. Wikipédia. Conductivité thermique. Récupéré de: en.wikipedia.org.
8. Wikipédia. Viscosité. Récupéré de: es.wikipedia.org.