Le gravicentro est une définition très utilisée en géométrie lorsque l'on travaille avec des triangles.
Pour comprendre la définition de la gravité, il faut d'abord connaître la définition des «médianes» d'un triangle.
Les médianes d'un triangle sont les segments de ligne qui commencent à chaque sommet et atteignent le milieu du côté opposé à ce sommet.
Le point d'intersection des trois médianes d'un triangle est appelé le barycentre ou il est également connu comme le gravicentre.
Il ne suffit pas de connaître la définition, il est intéressant de savoir comment ce point est calculé.
Calcul du centre de gravité
Étant donné un triangle ABC avec des sommets A = (x1, y1), B = (x2, y2) et C = (x3, y3), nous avons que le gravicentre est l'intersection des trois médianes du triangle.
Une formule rapide qui permet le calcul du centre de gravité d'un triangle, étant connu les coordonnées de ses sommets est:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Avec cette formule, vous pouvez trouver l'emplacement du graviccenter dans le plan cartésien.
Caractéristiques du Gravicentro
Il n'est pas nécessaire de dessiner les trois médianes du triangle, car en dessinant deux d'entre elles, il sera évident où se trouve le gravicentro.
Le gravicentro divise chaque médiane en 2 parties dont la proportion est de 2: 1, c'est-à-dire que les deux segments de chaque médiane sont divisés en segments de longueurs 2/3 et 1/3 de la longueur totale, la plus grande distance étant celle qu'il y a entre le sommet et le centre de gravité.
L'image suivante illustre mieux cette propriété.
La formule de calcul de la gravité est très simple à appliquer. La façon d'obtenir cette formule est de calculer les équations de ligne qui définissent chaque médiane, puis de trouver le point d'intersection de ces lignes.
Exercices
Voici une courte liste de problèmes concernant le calcul du centre de gravité.
1.- Étant donné un triangle aux sommets A = (0,0), B = (1,0) et C = (1,1), calculez le centre de gravité dudit triangle.
En utilisant la formule donnée, on peut rapidement conclure que le centre de gravité du triangle ABC est:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Si un triangle a des sommets A = (0,0), B = (1,0) et C = (1 / 2,1), quelles sont les coordonnées du gravicentro?
Puisque les sommets du triangle sont connus, nous procédons à l'application de la formule pour calculer le centre de gravité. Par conséquent, le gravicentro a des coordonnées:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Calculer les gravicentros possibles pour un triangle équilatéral tel que deux de ses sommets soient A = (0,0) et B = (2,0).
Dans cet exercice, vous ne spécifiez que deux sommets du triangle. Afin de trouver les gravicentros possibles, nous devons d'abord calculer le troisième sommet du triangle.
Puisque le triangle est équilatéral et que la distance entre A et B est de 2, le troisième sommet C doit être à la distance 2 de A et B.
En utilisant le fait que dans un triangle équilatéral la hauteur coïncide avec la médiane et en utilisant également le théorème de Pythagore, on peut conclure que les options pour les coordonnées du troisième sommet sont C1 = (1, √3) ou C2 = (1, - √3).
Les coordonnées des deux gravicentries possibles sont donc:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3), G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Grâce aux comptes précédents, on peut également noter que la médiane a été divisée en deux parties dont la proportion est de 2: 1.
Références
- Landaverde, F. d. (1997). Geometry (réimprimé éd.). Le progrès.
- Leake, D. (2006). Triangles (édité illustré). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Précalcul. Pearson Education.
- Ruiz, Á., Et Barrantes, H. (2006). Géométries. Technologie CR.
- Sullivan, M. (1997). Précalcul. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.