PROPORTIONNALITÉ COMPOSÉE: EXPLICATION, RÈGLE COMPOSÉE DE TROIS, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La proportionnalité composite ou multiple est le rapport de plus de deux grandeurs, qui peut être observé directement et la proportionnalité inverse entre les données et l'inconnu. Il s'agit d'une version plus avancée de la proportionnalité simple, bien que les techniques utilisées dans les deux procédures soient similaires.

Par exemple, si 7 personnes sont nécessaires pour décharger 10 tonnes de marchandises en 3 heures, la proportionnalité composée peut être utilisée pour calculer combien de personnes il faudra pour décharger 15 tonnes en 4 heures.

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Pour répondre à cette question, il convient de faire un tableau de valeurs pour étudier et relier les grandeurs et les inconnues.

Nous procédons à l'analyse des types de relations entre chaque grandeur et l'inconnu présent, qui pour ce cas correspond au nombre de personnes qui travailleront.

À mesure que le poids de la marchandise augmente, le nombre de personnes nécessaires pour la décharger augmente également. Pour cette raison, la relation entre le poids et les travailleurs est directe.

En revanche, à mesure que le nombre de travailleurs augmente, les heures de travail diminuent. Pour cette raison, la relation entre les personnes et les heures de travail est de type inverse.

Comment calculer les proportionnalités composées

Pour résoudre des exemples comme celui ci-dessus, la règle composée de trois méthodes est principalement utilisée. Cela consiste à établir les types de relations entre grandeurs et inconnues puis à représenter un produit entre fractions.

Par rapport à l'exemple initial, les fractions correspondant au tableau de valeurs sont organisées comme suit:

Mais avant de résoudre et de résoudre l'inconnu, les fractions correspondant à la relation inverse doivent être inversées. Qui pour ce cas correspondent au temps variable. De cette manière, l'opération à résoudre sera:

Dont la seule différence est l'inversion de la fraction correspondant à la variable temps 4/3. Nous procédons à l'opération et effaçons la valeur de x.

Ainsi, il faut plus de onze personnes pour pouvoir décharger 15 tonnes de marchandises en 4 heures ou moins.

Explication

La proportionnalité est la relation constante entre les grandeurs sujettes à changement, qui sera symétrique pour chacune des grandeurs concernées. Il existe des relations directement et inversement proportionnelles, définissant ainsi les paramètres de proportionnalité simple ou composée.

Règle directe de trois

Il consiste en une relation de proportion entre les variables, qui présentent le même comportement lorsqu'elles sont modifiées. Il est très fréquent dans le calcul des pourcentages se référant à des grandeurs autres que cent, où sa structure fondamentale est appréciée.

A titre d'exemple, on peut calculer 15% de 63. A première vue, ce pourcentage ne s'apprécie pas facilement. Mais en appliquant la règle de trois, la relation suivante peut être établie: si 100% est 63, alors 15%, combien sera-ce?

100% ---- 63

15% ---– X

Et l'opération correspondante est:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Où les signes de pourcentage sont simplifiés et le chiffre 9,45 est obtenu, ce qui représente 15% de 63.

Règle inverse de trois

Comme son nom l'indique, dans ce cas, la relation entre les variables est inverse. La relation inverse doit être établie avant de procéder au calcul. Sa procédure est homologue à celle de la règle directe de trois, à l'exception de l'investissement dans la fraction à calculer.

Par exemple, 3 peintres ont besoin de 5 heures pour finir un mur. En combien d'heures 4 peintres le finiraient-ils?

Dans ce cas, la relation est inverse, car à mesure que le nombre de peintres augmente, le temps de travail devrait diminuer. La relation est établie;

3 peintres - 5 heures

4 peintres - X heures

Lorsque la relation est inversée, l'ordre de fonctionnement est inversé. Ceci étant la bonne manière;

(3 peintres). (5 heures) / 4 peintres = 3,75 heures

Le terme de peintres est simplifié et le résultat est de 3,75 heures.

État

Pour être en présence d'une proportionnalité composée ou multiple, il faut trouver les deux types de relation entre grandeurs et variables.

- Direct: la variable a le même comportement que l'inconnu. Autrement dit, lorsque l'un augmente ou diminue, l'autre est également altéré.

- Inverse: La variable a un comportement antonyme à celui de l'inconnu. La fraction qui définit ladite variable dans le tableau des valeurs doit être inversée, afin de représenter la relation inversement proportionnelle entre variable et inconnue.

Vérification des résultats

Il est très courant de confondre l'ordre des quantités lorsque l'on travaille avec des proportionnalités composées, contrairement à ce qui se passe dans les calculs de proportions habituels, dont la nature est principalement directe et soluble au moyen d'une simple règle de trois.

Pour cette raison, il est important d'examiner l'ordre logique des résultats, en vérifiant la cohérence des chiffres produits par la règle composée de trois.

Dans l'exemple initial, faire une telle erreur entraînerait 20 comme résultat. Soit 20 personnes pour décharger 15 tonnes de marchandises en 4 heures.

À première vue cela ne semble pas être un résultat fou, mais il est curieux une augmentation de près de 200% des effectifs (de 7 à 20 personnes) alors que l'augmentation de la marchandise est de 50%, et même avec une plus grande marge de temps à réaliser l'oeuvre.

Ainsi, la vérification logique des résultats représente une étape importante dans la mise en œuvre de la règle composée de trois.

Dégagement

Bien que de nature plus élémentaire par rapport à la formation mathématique, la clairance représente une étape importante dans les cas de proportionnalité. Un jeu erroné suffit à invalider tout résultat obtenu dans la règle simple ou composée de trois.

L'histoire

La règle de trois est devenue connue en Occident à travers les Arabes, avec des publications de divers auteurs. Parmi eux Al-Jwarizmi et Al-Biruni.

Al-Biruni, grâce à ses connaissances multiculturelles, a eu accès à de vastes informations concernant cette pratique lors de ses voyages en Inde, étant responsable de la documentation la plus complète sur la règle de trois.

Il déclare dans ses recherches que l'Inde a été le premier endroit où l'utilisation de la règle de trois est devenue courante. L'écrivain assure qu'elle a été réalisée de manière fluide dans ses versions directes, inverses et même composées.

La date exacte à laquelle la règle de trois est devenue une partie des connaissances mathématiques de l'Inde est encore inconnue. Cependant, le plus ancien document traitant de cette pratique, le manuscrit de Bakhshali, a été découvert en 1881. Il se trouve actuellement à Oxford.

De nombreux historiens des mathématiques affirment que ce manuscrit date du début de l'ère actuelle.

Exercices résolus

Exercice 1

Une compagnie aérienne doit transporter 1 535 personnes. On sait qu'avec 3 avions, il faudrait 12 jours pour amener le dernier passager à destination. 450 autres personnes sont arrivées à la compagnie aérienne et 2 avions doivent être réparés pour aider dans cette tâche. Combien de jours faudra-t-il à la compagnie aérienne pour transférer chaque dernier passager à sa destination?

La relation entre le nombre de personnes et les jours de travail est directe, car plus le nombre de personnes est élevé, plus il faudra de jours pour effectuer ce travail.

En revanche, la relation entre les avions et les jours est inversement proportionnelle. À mesure que le nombre d'avions augmente, les jours nécessaires pour transporter tous les passagers diminuent.

Le tableau des valeurs se référant à ce cas est fait.

Comme détaillé dans l'exemple initial, le numérateur et le dénominateur doivent être inversés dans la fraction correspondant à la variable inverse par rapport à l'inconnue. Le fonctionnement est le suivant:

X = 71460/7675 = 9,31 jours

Pour transférer 1985 personnes à l'aide de 5 avions, cela prend plus de 9 jours.

Exercice 2

Une récolte de maïs de 25 tonnes est acheminée vers les camions de fret. On sait que l'année précédente, il leur a fallu 8 heures avec une masse salariale de 150 travailleurs. Si pour cette année la masse salariale a augmenté de 35%, combien de temps leur faudra-t-il pour remplir les camions de fret avec une récolte de 40 tonnes?

Avant de représenter le tableau des valeurs, le nombre de travailleurs pour cette année doit être défini. Cela a augmenté de 35% par rapport au chiffre initial de 150 travailleurs. Une règle directe de trois est utilisée pour cela.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Il s'agit du nombre de travailleurs supplémentaires par rapport à l'année précédente, obtenant un nombre total de travailleurs de 203, après arrondissement du montant obtenu.

Nous procédons à la définition de la table de données correspondante

Dans ce cas, le poids représente une variable directement liée à l'heure inconnue. En revanche, la variable travailleurs a une relation inverse avec le temps. Plus le nombre de travailleurs est élevé, plus la journée de travail est courte.

En tenant compte de ces considérations et en inversant la fraction correspondant à la variable ouvrière, nous procédons au calcul.

X = 40600/6000 = 6,76 heures

Le trajet prendra un peu moins de 7 heures.

Exercices proposés

- Définissez 73% de 2875.

- Calculez le nombre d'heures de sommeil de Teresa, si l'on sait qu'elle ne dort que 7% du total de la journée. Définissez combien d'heures vous dormez par semaine.

- Un journal publie 2000 exemplaires toutes les 5 heures, en utilisant seulement 2 machines à imprimer. Combien d'exemplaires produira-t-il en 1 heure, s'il utilise 7 machines? Combien de temps faut-il pour produire 10 000 exemplaires à l'aide de 4 machines?

Références

1. Encyclopédie Alvarez-initiation. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Manuel complet de l'enseignement primaire et supérieur: à l'usage des futurs enseignants et en particulier des élèves des écoles normales de la province, volume 1. Joaquín Avendaño. Impression de D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Approximation rationnelle des fonctions réelles. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mars. 2011.
4. Arithmétique élémentaire pour l'enseignement dans les écoles et les collèges d'Amérique centrale. Darío González. Pointe. Arenales, 1926.
5. L'étude des mathématiques: sur l'étude et les difficultés des mathématiques. Augustus De Morgan. Baldwin et Cradock, 1830.