- Produits et exemples notables
- Binomial au carré
- Produit de binômes conjugués
- Produit de deux binômes avec un terme commun
- Polynôme carré
- Binomial en cubes
- Cube d'un trinôme
- Exercices résolus de produits notables
- Exercice 1
- Solution
- Exercice 2
- Solution
- Références
Les produits remarquables sont des opérations algébriques, où des multiplications de polynômes sont exprimées, qui n'ont pas besoin d'être résolues traditionnellement, mais à l'aide de certaines règles, les résultats peuvent être trouvés.
Les polynômes sont multipliés par oui, il est donc possible qu'ils aient un grand nombre de termes et de variables. Pour raccourcir le processus, les règles de produit notables sont utilisées, qui permettent la multiplication sans avoir à passer par terme.
Produits et exemples notables
Chaque produit notable est une formule qui résulte d'une factorisation, constituée de polynômes de plusieurs termes, tels que des binômes ou des trinômes, appelés facteurs.
Les facteurs sont la base d'une puissance et ont un exposant. Lorsque les facteurs sont multipliés, les exposants doivent être ajoutés.
Il existe plusieurs formules de produits remarquables, certaines sont plus utilisées que d'autres, selon les polynômes, et ce sont les suivantes:
Binomial au carré
C'est la multiplication d'un binôme par lui-même, exprimé en puissance, où les termes sont ajoutés ou soustraits:
à. Binôme à somme carrée: il est égal au carré du premier terme, plus deux fois le produit des termes, plus le carré du deuxième terme. Il s'exprime comme suit:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Dans la figure suivante, vous pouvez voir comment le produit se développe selon la règle susmentionnée. Le résultat est appelé le trinôme d'un carré parfait.
Exemple 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Exemple 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2.
b. Binomial d'une soustraction au carré: la même règle du binôme d'une somme s'applique, seulement dans ce cas le deuxième terme est négatif. Sa formule est la suivante:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2.
Exemple 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produit de binômes conjugués
Deux binômes sont conjugués lorsque les seconds termes de chacun ont des signes différents, c'est-à-dire que le premier est positif et le second négatif ou vice versa. Il est résolu en quadrillant chaque monôme et en soustrayant. Sa formule est la suivante:
(a + b) * (a - b)
Dans la figure suivante, le produit de deux binômes conjugués est développé, où l'on observe que le résultat est une différence de carrés.
Exemple 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2.
Produit de deux binômes avec un terme commun
C'est l'un des produits notables les plus complexes et les moins utilisés car il s'agit d'une multiplication de deux binômes qui ont un terme commun. La règle stipule ce qui suit:
- Le carré du terme commun.
- Plus la somme des termes qui ne sont pas communs, puis multipliez-les par le terme commun.
- Plus la somme de la multiplication des termes qui ne sont pas communs.
Il est représenté dans la formule: (x + a) * (x + b) et est développé comme indiqué dans l'image. Le résultat est un trinôme carré non parfait.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Il est possible que le deuxième terme (le terme différent) soit négatif et que sa formule soit la suivante: (x + a) * (x - b).
Exemple 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Il se peut également que les deux termes différents soient négatifs. Sa formule sera: (x - a) * (x - b).
Exemple 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polynôme carré
Dans ce cas, il y a plus de deux termes et pour le développer, chacun est mis au carré et additionné avec deux fois la multiplication d'un terme par un autre; sa formule est: (a + b + c) 2 et le résultat de l'opération est un trinôme carré.
Exemple 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial en cubes
C'est un produit remarquablement complexe. Pour le développer, le binôme est multiplié par son carré, comme suit:
à. Pour le binôme au cube d'une somme:
- Le cube du premier terme, plus le triple du carré du premier terme multiplié par le second.
- Plus le triple du premier terme, multiplié par le deuxième au carré.
- Plus le cube du deuxième terme.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3.
Exemple 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Pour le binôme au cube d'une soustraction:
- Le cube du premier terme, moins trois fois le carré du premier terme multiplié par le second.
- Plus le triple du premier terme, multiplié par le deuxième au carré.
- Moins le cube du deuxième terme.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2)
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3.
Exemple 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Cube d'un trinôme
Il se développe en le multipliant par son carré. C'est un produit remarquable très étendu car vous avez 3 termes au cube, plus trois fois chaque terme au carré, multiplié par chacun des termes, plus six fois le produit des trois termes. Vu d'une meilleure manière:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Exemple 1
Exercices résolus de produits notables
Exercice 1
Développez le binôme suivant au cube: (4x - 6) 3.
Solution
Se souvenir qu'un binôme au cube est égal au premier terme au cube, moins trois fois le carré du premier terme multiplié par le second; plus le triple du premier terme, multiplié par le deuxième au carré, moins le cube du deuxième terme.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Exercice 2
Développez le binôme suivant: (x + 3) (x + 8).
Solution
Il y a un binôme où il y a un terme commun, qui est x et le deuxième terme est positif. Pour le développer, il suffit de mettre au carré le terme commun, plus la somme des termes qui ne sont pas communs (3 et 8) puis de les multiplier par le terme commun, plus la somme de la multiplication des termes qui ne sont pas communs.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Références
- Angel, AR (2007). Algèbre élémentaire. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Royaume-Uni: Ratna Sagar.
- Jérôme E. Kaufmann, KL (2011). Algèbre élémentaire et intermédiaire: une approche combinée. Floride: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.