PRODUIT CROISÉ: PROPRIÉTÉS, APPLICATIONS ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le produit croisé ou produit vectoriel est un moyen de multiplier deux vecteurs ou plus. Il existe trois façons de multiplier les vecteurs, mais aucune de celles-ci n'est une multiplication au sens habituel du mot. L'une de ces formes est connue sous le nom de produit vectoriel, ce qui donne un troisième vecteur.

Le produit croisé, également appelé produit croisé ou produit externe, a différentes propriétés algébriques et géométriques. Ces propriétés sont très utiles, notamment en termes d'étude de la physique.

Définition

Une définition formelle du produit vectoriel est la suivante: si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3) sont des vecteurs, alors le produit vectoriel de A et B, que nous appellerons AxB, est:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

En raison de la notation AxB, il est lu comme "A cross B".

Un exemple d'utilisation du produit extérieur est que si A = (1, 2, 3) et B = (3, -2, 4) sont des vecteurs, alors en utilisant la définition d'un produit vectoriel, nous avons:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Une autre manière d'exprimer le produit vectoriel est donnée par la notation des déterminants.

Le calcul d'un déterminant du second ordre est donné par:

Par conséquent, la formule du produit croisé donnée dans la définition peut être réécrite comme suit:

Ceci est généralement simplifié en un déterminant du troisième ordre comme suit:

Où i, j, k représentent les vecteurs qui forment la base de R ³.

En utilisant cette façon d'exprimer le produit croisé, nous avons que l'exemple précédent peut être réécrit comme:

Propriétés

Certaines propriétés du produit vectoriel sont les suivantes:

Propriété 1

Si A est un vecteur quelconque de R ³, on a:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ces propriétés sont faciles à vérifier en utilisant uniquement la définition. Si A = (a1, a2, a3) on a:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Si i, j, k représentent la base unitaire de R ³, on peut les écrire comme suit:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Donc, nous avons que les propriétés suivantes sont vraies:

Comme règle mnémotechnique, le cercle suivant est souvent utilisé pour se souvenir de ces propriétés:

Là, il faut noter que tout vecteur avec lui-même donne le vecteur 0 comme résultat, et le reste des produits peut être obtenu avec la règle suivante:

Le produit croisé de deux vecteurs consécutifs dans le sens des aiguilles d'une montre donne le vecteur suivant; et lorsque le sens anti-horaire est considéré, le résultat est le vecteur suivant avec un signe négatif.

Grâce à ces propriétés, nous pouvons voir que le produit vectoriel n'est pas commutatif; par exemple, notez simplement que ixj ≠ jx i. La propriété suivante nous indique comment AxB et BxA sont liés en général.

Propriété 2

Si A et B sont des vecteurs de R ³, on a:

AxB = - (BxA).

Manifestation

Si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3), par définition de produit externe on a:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

On voit aussi que ce produit n'est pas associatif avec l'exemple suivant:

ix (ixj) = ixk = - j mais (ixi) xj = 0xj = 0

De cela, nous pouvons voir que:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Propriété 3

Si A, B, C sont des vecteurs de R ³ et r est un nombre réel, ce qui suit est vrai:

- Axe (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Grâce à ces propriétés on peut calculer le produit vectoriel en utilisant les lois de l'algèbre, à condition que l'ordre soit respecté. Par exemple:

Si A = (1, 2, 3) et B = (3, -2, 4), nous pouvons les réécrire en fonction de la base canonique de R ³.

Ainsi, A = i + 2j + 3k et B = 3i - 2j + 4k. Ensuite, appliquez les propriétés précédentes:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Propriété 4 (produit triple dot)

Comme nous l'avons mentionné au début, il existe d'autres façons de multiplier les vecteurs en plus du produit vectoriel. L'une de ces méthodes est le produit scalaire ou produit interne, qui est noté A ∙ B et dont la définition est:

Si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3), alors A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

La propriété qui relie les deux produits est connue sous le nom de produit triple scalaire.

Si A, B et C sont des vecteurs de R ³, alors A ∙ BxC = AxB ∙ C

À titre d'exemple, voyons que, étant donné A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) et C = (- 5, 1, - 4), cette propriété est satisfaite.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

D'autre part:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Un autre produit triple est Ax (BxC), connu sous le nom de produit triple vecteur.

Propriété 5 (produit triple vecteur)

Si A, B et C sont des vecteurs de R ³, alors:

Axe (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

À titre d'exemple, voyons que, étant donné A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) et C = (- 5, 1, - 4), cette propriété est satisfaite.

De l'exemple précédent, nous savons que BxC = (- 18, - 22, 17). Calculons Ax (BxC):

Hache (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

D'un autre côté, nous devons:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Ainsi, nous devons:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Propriété 6

C'est l'une des propriétés géométriques des vecteurs. Si A et B sont deux vecteurs dans R ³ et ϴ est l'angle formé entre eux, alors:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), où - ∙ - désigne le module ou la grandeur d'un vecteur.

L'interprétation géométrique de cette propriété est la suivante:

Soit A = PR et B = PQ. L'angle formé par les vecteurs A et B est donc l'angle P du triangle RQP, comme le montre la figure suivante.

Par conséquent, l'aire du parallélogramme qui a PR et PQ comme côtés adjacents est --A ---- B - sin (ϴ), puisque nous pouvons prendre --A-- comme sa base et sa hauteur est donnée par --B - péché (ϴ).

Par conséquent, nous pouvons conclure que --AxB-- est l'aire dudit parallélogramme.

Exemple

Étant donné les sommets suivants d'un quadrilatère P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) et S (5,7, -3), montrent que ledit quadrilatère est un parallélogramme et trouve sa surface.

Pour cela, nous déterminons d'abord les vecteurs qui déterminent la direction des côtés du quadrilatère. C'est:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Comme nous pouvons le voir, A et C ont le même vecteur directeur, pour lequel nous avons que les deux sont parallèles; la même chose se produit avec B et D. Par conséquent, nous concluons que PQRS est un parallélogramme.

Pour avoir l'aire de ce parallélogramme, nous calculons BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Par conséquent, la surface au carré sera:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

On peut conclure que l'aire du parallélogramme sera la racine carrée de 89.

Propriété 7

Deux vecteurs A et B sont parallèles dans R ³ si et seulement si AxB = 0

Manifestation

Il est clair que si A ou B sont le vecteur nul, il est satisfait que AxB = 0. Puisque le vecteur zéro est parallèle à tout autre vecteur, alors la propriété est valide.

Si aucun des deux vecteurs n'est le vecteur nul, nous avons que leurs magnitudes sont différentes de zéro; c'est-à-dire à la fois --A-- ≠ 0 et --B-- ≠ 0, donc nous aurons --AxB-- = 0 si et seulement si sin (ϴ) = 0, et cela se produit si et seulement si ϴ = π ou ϴ = 0.

Par conséquent, nous pouvons conclure AxB = 0 si et seulement si ϴ = π ou ϴ = 0, ce qui ne se produit que lorsque les deux vecteurs sont parallèles l'un à l'autre.

Propriété 8

Si A et B sont deux vecteurs dans R ³, alors AxB est perpendiculaire à A et B.

Manifestation

Pour cette preuve, rappelons que deux vecteurs sont perpendiculaires si A ∙ B est égal à zéro. De plus, nous savons que:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, mais AxA est égal à 0. On a donc:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Par cela, nous pouvons conclure que A et AxB sont perpendiculaires l'un à l'autre. De manière analogue, nous devons:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Puisque BxB = 0, nous avons:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Par conséquent, AxB et B sont perpendiculaires l'un à l'autre et avec cela la propriété est démontrée. Ceci nous est très utile, car ils nous permettent de déterminer l'équation d'un plan.

Exemple 1

Obtenez une équation du plan qui passe par les points P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) et R (2, 1, 3).

Soit A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) et B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Alors A = - i + 3j + k et B = i - 2j + k. Pour trouver le plan formé par ces trois points, il suffit de trouver un vecteur normal au plan, qui est AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Avec ce vecteur, et en prenant le point P (1, 3, 2), on peut déterminer l'équation du plan comme suit:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Ainsi, nous avons que l'équation du plan est 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exemple 2

Trouvez l'équation du plan qui contient le point P (4, 0, - 2) et qui est perpendiculaire à chacun des plans x - y + z = 0 et 2x + y - 4z - 5 = 0.

Sachant qu'un vecteur normal à un plan ax + by + cz + d = 0 est (a, b, c), nous avons que (1, -1,1) est un vecteur normal de x - y + z = 0 y (2,1, - 4) est un vecteur normal de 2x + y - 4z - 5 = 0.

Un vecteur normal au plan recherché doit donc être perpendiculaire à (1, -1,1) et à (2, 1, - 4). Ce vecteur est:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Alors, on a que le plan recherché est celui qui contient le point P (4,0, - 2) et a le vecteur (3,6,3) comme vecteur normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Applications

Calcul du volume d'un parallélépipède

Une application qui a le triple produit scalaire est de pouvoir calculer le volume d'un parallélépipède dont les arêtes sont données par les vecteurs A, B et C, comme le montre la figure:

On peut déduire cette application de la manière suivante: comme nous l'avons dit précédemment, le vecteur AxB est un vecteur normal au plan de A et B. On a aussi que le vecteur - (AxB) est un autre vecteur normal audit plan.

On choisit le vecteur normal qui forme le plus petit angle avec le vecteur C; Sans perte de généralité, soit AxB le vecteur dont l'angle avec C est le plus petit.

Nous avons que AxB et C ont le même point de départ. De plus, on sait que l'aire du parallélogramme qui forme la base du parallélépipède est -AxB--. Par conséquent, si la hauteur du parallélépipède est donnée par h, nous avons que son volume sera:

V = --AxB - h.

D'un autre côté, considérons le produit scalaire entre AxB et C, qui peut être décrit comme suit:

Cependant, par propriétés trigonométriques, nous avons que h = --C - cos (ϴ), donc nous avons:

De cette façon, nous avons cela:

D'une manière générale, nous avons que le volume d'un parallélépipède est donné par la valeur absolue du produit triple scalaire AxB ∙ C.

Exercices résolus

Exercice 1

Étant donné les points P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) et S = (2, 6, 9), ces points forment un parallélépipède dont les arêtes ce sont PQ, PR et PS. Déterminez le volume dudit parallélépipède.

Solution

Si nous prenons:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

En utilisant la propriété de produit triple scalaire, nous avons:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Par conséquent, nous avons que le volume dudit parallélépipède est de 52.

Exercice 2

Déterminer le volume d'un parallélépipède dont les arêtes sont données par A = PQ, B = PR et C = PS, où les points P, Q, R et S sont (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) et (2, 2, 5), respectivement.

Solution

Nous avons d'abord que A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Nous calculons AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Ensuite, nous calculons AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

On en conclut donc que le volume dudit parallélépipède est de 1 unité cubique.

Références

1. Leithold, L. (1992). Le calcul avec la géométrie analytique. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D. et Krane, K. (2001). Physique, vol. 1. Mexique: Continental.
3. Saenz, J. (nd). Calcul vectoriel 1ed. Hypoténuse.
4. Spiegel, MR (2011). Analyse vectorielle 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG et Wright, W. (2011). Calcul de plusieurs variables 4ed. Mc Graw Hill.