PROBABILITÉ THÉORIQUE: COMMENT L'OBTENIR, EXEMPLES, EXERCICES - DUDAS - 2025

La probabilité théorique (ou Laplace) qu'un événement E se produise appartenant à un espace échantillon S, dans lequel tous les événements ont la même probabilité d'occurrence, est définie en notation mathématique comme: P (E) = n (E) / N (S)

Où P (E) est la probabilité, donnée comme le quotient entre le nombre total de résultats possibles de l'événement E, que nous appelons n (E), divisé par le nombre total N (S) de résultats possibles dans l'espace d'échantillonnage S.

Figure 1. Dans le jet d'un dé à six faces, la probabilité théorique que la face à trois points soit sur le dessus est ⅙. Source: Pixabay.

La probabilité théorique est un nombre réel compris entre 0 et 1, mais elle est souvent exprimée en pourcentage, auquel cas la probabilité sera une valeur comprise entre 0% et 100%.

Le calcul de la probabilité qu'un événement se produise est très important dans de nombreux domaines, tels que le commerce, les compagnies d'assurance, les jeux d'argent et bien d'autres.

Comment obtenir la probabilité théorique?

Un cas illustratif est le cas des tombolas ou des loteries. Supposons que 1000 billets soient émis pour tirer au sort un smartphone. Comme le tirage au sort est effectué au hasard, tous les billets ont une chance égale d'être gagnant.

Pour trouver la probabilité qu'une personne qui achète un billet avec le numéro 81 soit un gagnant, le calcul de probabilité théorique suivant est effectué:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Le résultat ci-dessus est interprété comme suit: si le tirage au sort était répété une infinité de fois, chaque 1000 fois le ticket 81 serait sélectionné, en moyenne, une fois.

Si, pour une raison quelconque, quelqu'un acquiert tous les billets, il est certain qu'il gagnera le prix. La probabilité de gagner le prix si vous possédez tous les billets est calculée comme suit:

P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.

Autrement dit, cette probabilité 1 ou 100% signifie qu'il est totalement certain que ce résultat se produira.

Si quelqu'un possède 500 billets, les chances de gagner ou de perdre sont les mêmes. La probabilité théorique de gagner le prix dans ce cas est calculée comme suit:

P (500) = 500/1 000 = 1/2 = 0,5 = 50%.

Celui qui n'achète aucun billet n'a aucune chance de gagner et sa probabilité théorique est déterminée comme suit:

P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%

Exemples

Exemple 1

Vous avez une pièce avec un visage d'un côté et un bouclier ou un sceau de l'autre. Lorsque la pièce est lancée, quelle est la probabilité théorique qu'elle fasse face?

P (visage) = n (visage) / N (visage + écran) = ½ = 0,5 = 50%

Le résultat est interprété comme suit: si un grand nombre de lancers étaient effectués, en moyenne tous les 2 lancers l'un d'entre eux se retrouverait face à face.

En termes de pourcentage, l'interprétation du résultat est qu'en faisant un nombre infiniment grand de lancers, en moyenne sur 100 d'entre eux 50 se traduiraient par des têtes.

Exemple 2

Dans une boîte il y a 3 billes bleues, 2 billes rouges et 1 verte. Quelle est la probabilité théorique que lorsque vous sortez une bille de la boîte, elle soit rouge?

Figure 2. Probabilité d'extraction de billes colorées. Source: F. Zapata.

La probabilité qu'il apparaisse en rouge est:

P (rouge) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

C'est-à-dire:

P (rouge) = nombre de billes rouges / nombre total de billes

Enfin, la probabilité qu'une bille rouge soit dessinée est:

P (rouge) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Alors que la probabilité que lors du dessin d'une bille verte est:

P (vert) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Enfin, la probabilité théorique d'obtenir une bille bleue lors d'une extraction à l'aveugle est:

P (bleu) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Autrement dit, pour toutes les 2 tentatives, le résultat sera bleu dans l'une d'elles et une autre couleur dans une autre tentative, sous l'hypothèse que le marbre extrait est remplacé et que le nombre d'essais est très, très grand.

Exercices

Exercice 1

Déterminez la probabilité que lancer un dé obtienne une valeur inférieure ou égale à 4.

Solution

Pour calculer la probabilité que cet événement se produise, la définition de la probabilité théorique sera appliquée:

P (≤4) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Exercice 2

Trouvez la probabilité que sur deux lancers consécutifs d'un dé normal à six faces, 5 lancera 2 fois.

Solution

Pour répondre à cet exercice, créez un tableau pour montrer toutes les possibilités. Le premier chiffre indique le résultat du premier dé et le second le résultat de l'autre.

Pour calculer la probabilité théorique, nous avons besoin de connaître le nombre total de cas possibles, dans ce cas, comme le montre le tableau précédent, il y a 36 possibilités.

En observant également le tableau, on en déduit que le nombre de cas favorables à l'événement qui dans les deux lancements consécutifs sort 5 est seulement 1, mis en évidence avec la couleur, donc la probabilité que cet événement se produise est:

P (5 x 5) = 1/36.

Ce résultat aurait également pu être obtenu en utilisant l'une des propriétés de la probabilité théorique, qui stipule que la probabilité combinée de deux événements indépendants est le produit de leurs probabilités individuelles.

Dans ce cas, la probabilité que le premier tirage au sort lancera 5 est ⅙. Le second tirage au sort est complètement indépendant du premier, donc la probabilité que 5 soit lancé dans le second est également ⅙. La probabilité combinée est donc:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Exercice 3

Trouvez la probabilité qu'un nombre inférieur à 2 soit obtenu au premier tirage au sort et qu'un nombre supérieur à 2 soit obtenu au second.

Solution

Encore une fois, un tableau des événements possibles doit être construit, où ceux dans lesquels le premier lancer était inférieur à 2 et dans le second supérieur à 2 sont soulignés.

Au total, il y a 4 possibilités sur un total de 36. Autrement dit, la probabilité de cet événement est:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

En utilisant le théorème de probabilité qui stipule:

Le même résultat est obtenu:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

La valeur obtenue avec cette procédure coïncide avec le résultat précédent, au moyen de la définition théorique ou classique de la probabilité.

Exercice 4

Quelle est la probabilité qu'en lançant deux dés, la somme des valeurs soit de 7.

Solution

Pour trouver la solution dans ce cas, un tableau de possibilités a été établi dans lequel les cas qui remplissent la condition que la somme des valeurs soit 7 ont été indiqués en couleur.

En regardant le tableau, 6 cas possibles peuvent être comptés, donc la probabilité est:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Références

1. Canavos, G. 1988. Probabilité et statistiques: applications et méthodes. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et la science. 8ème. Édition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Série Schaum: Probabilité. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Théorie des probabilités. Éditorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et les sciences. Pearson.