PRINCIPE MULTIPLICATIF: TECHNIQUES DE COMPTAGE ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Le principe multiplicatif est une technique utilisée pour résoudre des problèmes de comptage pour trouver la solution sans avoir à lister ses éléments. Il est également connu comme le principe fondamental de l'analyse combinatoire; il est basé sur des multiplications successives pour déterminer comment un événement peut se produire.

Ce principe stipule que, si une décision (d ₁) peut être prise de n façons et une autre décision (d ₂) peut être prise de m façons, le nombre total de façons dont les décisions d ₁ et d ₂ peuvent être prises sera égal multiplier à partir de n _* m. Selon le principe, chaque décision est prise l'une après l'autre: nombre de voies = N _{1 *} N ₂ … _* N _x voies.

Exemples

Exemple 1

Paula prévoit d'aller au cinéma avec ses amis, et pour choisir les vêtements qu'elle portera, je sépare 3 chemisiers et 2 jupes. De combien de façons Paula peut-elle s'habiller?

Solution

Dans ce cas, Paula doit prendre deux décisions:

d ₁ = Choisissez entre 3 chemisiers = n

d ₂ = Choisissez entre 2 jupes = m

De cette façon, Paula a n _* décisions m pour faire ou différentes façons de se habiller.

n _* m = 3 _* 2 = 6 décisions.

Le principe multiplicatif est né de la technique du diagramme arborescent, qui est un diagramme qui relie tous les résultats possibles, de sorte que chacun puisse se produire un nombre fini de fois.

Exemple 2

Mario avait très soif, alors il est allé à la boulangerie pour acheter du jus. Luis prend soin de lui et lui dit qu'il existe en deux tailles: grande et petite; et quatre saveurs: pomme, orange, citron et raisin. De combien de façons Mario peut-il choisir le jus?

Solution

Dans le diagramme, on peut voir que Mario a 8 façons différentes de choisir le jus et que, comme dans le principe multiplicatif, ce résultat est obtenu en multipliant n _* m. La seule différence est que grâce à ce diagramme, vous pouvez voir à quoi ressemblent les façons dont Mario choisit le jus.

En revanche, lorsque le nombre de résultats possibles est très important, il est plus pratique d'utiliser le principe multiplicatif.

Techniques de comptage

Les techniques de comptage sont des méthodes utilisées pour effectuer un comptage direct, et donc connaître le nombre d'arrangements possibles que peuvent avoir les éléments d'un ensemble donné. Ces techniques reposent sur plusieurs principes:

Principe d'addition

Ce principe stipule que, si deux événements m et n ne peuvent pas se produire en même temps, le nombre de façons dont le premier ou le deuxième événement peut se produire sera la somme de m + n:

Nombre de formes = m + n… + x formes différentes.

Exemple

Antonio veut faire un voyage mais ne décide pas vers quelle destination; à l'Agence du tourisme du Sud, ils vous proposent une promotion pour voyager à New York ou à Las Vegas, tandis que l'Agence de tourisme de l'Est recommande de voyager en France, en Italie ou en Espagne. Combien d'alternatives de voyage différentes vous propose Antonio?

Solution

Avec l'Agence de Tourisme du Sud, Antonio a 2 alternatives (New York ou Las Vegas), tandis qu'avec l'Agence de Tourisme de l'Est il a 3 options (France, Italie ou Espagne). Le nombre d'alternatives différentes est:

Nombre d'alternatives = m + n = 2 + 3 = 5 alternatives.

Principe de permutation

Il s'agit de commander spécifiquement tout ou partie des éléments qui composent un ensemble, pour faciliter le comptage de toutes les dispositions possibles qui peuvent être faites avec les éléments.

Le nombre de permutations de n éléments différents, pris en même temps, est représenté par:

_n P _n = n!

Exemple

Quatre amis veulent prendre une photo et veulent savoir de combien de façons différentes ils peuvent être arrangés.

Solution

Vous voulez connaître l'ensemble de toutes les manières possibles de positionner les 4 personnes pour prendre la photo. Ainsi, vous devez:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 formes différentes.

Si le nombre de permutations de n éléments disponibles est pris par des parties d'un ensemble composé de r éléments, il est représenté par:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Exemple

Dans une salle de classe, il y a 10 places. Si 4 étudiants assistent à la classe, de combien de manières différentes les étudiants peuvent-ils occuper les postes?

Solution

Nous avons que le nombre total de l'ensemble de chaises est de 10, et de celles-ci seulement 4 seront utilisées. La formule donnée est appliquée pour déterminer le nombre de permutations:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 façons de remplir les postes.

Il existe des cas dans lesquels certains des éléments disponibles d'un ensemble sont répétés (ils sont identiques). Pour calculer le nombre de tableaux prenant tous les éléments en même temps, la formule suivante est utilisée:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Exemple

Combien de mots différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot «loup»?

Solution

Dans ce cas, il y a 4 éléments (lettres) dont deux sont exactement les mêmes. En appliquant la formule donnée, on sait combien de mots différents résultent:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 mots différents.

Principe de combinaison

Il s'agit de disposer tout ou partie des éléments qui composent un ensemble sans ordre spécifique. Par exemple, si vous avez un arrangement XYZ, il sera identique aux arrangements ZXY, YZX, ZYX, entre autres; en effet, bien que n'étant pas dans le même ordre, les éléments de chaque agencement sont les mêmes.

Lorsque certains éléments (r) sont extraits de l'ensemble (n), le principe de combinaison est donné par la formule suivante:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Exemple

Dans un magasin, ils vendent 5 types de chocolat différents. De combien de façons différentes peut-on choisir 4 chocolats?

Solution

Dans ce cas, vous devez choisir 4 chocolats parmi les 5 types vendus en magasin. L'ordre dans lequel ils sont choisis n'a pas d'importance et, en outre, un type de chocolat peut être choisi plus de deux fois. En appliquant la formule, vous devez:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 façons différentes de choisir 4 chocolats.

Lorsque tous les éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de combinaison est donné par la formule suivante:

_n C _{n =} n!

Exercices résolus

Exercice 1

Il y a une équipe de baseball de 14 membres. De combien de façons peut-on attribuer 5 positions pour un match?

Solution

L'ensemble est composé de 14 éléments et vous souhaitez attribuer 5 positions spécifiques; c'est-à-dire que l'ordre compte. La formule de permutation est appliquée où n éléments disponibles sont pris par des parties d'un ensemble formé par r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Où n = 14 et r = 5. Il est substitué dans la formule:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 façons d'attribuer les 9 positions de jeu.

Exercice 2

Si une famille de 9 personnes part en voyage et achète ses billets avec des sièges consécutifs, de combien de façons différentes peuvent-elles s'asseoir?

Solution

Il s'agit d'environ 9 éléments qui occuperont 9 sièges consécutivement.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 façons différentes de s'asseoir.

Références

1. Hopkins, B. (2009). Ressources pour l'enseignement des mathématiques discrètes: projets de classe, modules d'histoire et articles.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Mathématiques discrètes. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Solutionneur de problèmes mathématiques finis et discrets. Rédacteurs de l'Association de recherche et d'éducation.
4. Padró, FC (2001). Mathématiques discrètes. Politèc. de Catalogne.
5. Steiner, E. (2005). Mathématiques pour les sciences appliquées. Reverte.