PRINCIPE ADDITIF: DE QUOI IL S'AGIT ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Le principe additif est une technique de comptage de probabilités qui nous permet de mesurer de combien de façons une activité peut être réalisée, qui, à son tour, a plusieurs alternatives à réaliser, dont une seule peut être choisie à la fois. Un exemple classique de ceci est lorsque vous souhaitez choisir une ligne de transport pour aller d'un endroit à un autre.

Dans cet exemple, les alternatives correspondront à toutes les lignes de transport possibles qui couvrent l'itinéraire souhaité, soit aérien, maritime ou terrestre. Nous ne pouvons pas nous rendre dans un endroit en utilisant deux moyens de transport simultanément; nous devons en choisir un seul.

Le principe additif nous dit que le nombre de façons dont nous disposerons pour effectuer ce voyage correspondra à la somme de chaque alternative (moyen de transport) possible qui existe pour se rendre à l'endroit souhaité, cela inclura même les moyens de transport qui font une escale quelque part (ou endroits) entre les deux.

Évidemment, dans l'exemple précédent, nous choisirons toujours l'alternative la plus confortable qui correspond le mieux à nos possibilités, mais de manière probabiliste, il est extrêmement important de savoir de combien de façons un événement peut être organisé.

Probabilité

En général, la probabilité est le domaine des mathématiques qui est chargé d'étudier des événements ou des phénomènes et des expériences aléatoires.

Une expérience ou un phénomène aléatoire est une action qui ne donne pas toujours les mêmes résultats, même si elle est réalisée avec les mêmes conditions initiales, sans rien altérer dans la procédure initiale.

Un exemple classique et simple pour comprendre en quoi consiste une expérience aléatoire est l'action de lancer une pièce de monnaie ou un dé. L'action sera toujours la même, mais nous n'obtiendrons pas toujours des "têtes" ou des "six", par exemple.

La probabilité est responsable de fournir des techniques pour déterminer à quelle fréquence un événement aléatoire donné peut se produire; entre autres intentions, la principale est de prédire d'éventuels événements futurs incertains.

Probabilité d'un événement

Plus particulièrement, la probabilité qu'un événement A se produise est un nombre réel compris entre zéro et un; c'est-à-dire un nombre appartenant à l'intervalle. Il est noté P (A).

Si P (A) = 1, alors la probabilité que l'événement A se produise est de 100%, et s'il est nul, il n'y a aucune chance qu'il se produise. L'espace d'échantillonnage est l'ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent être obtenus en menant une expérience aléatoire.

Il existe au moins quatre types ou concepts de probabilité, selon le cas: probabilité classique, probabilité fréquentiste, probabilité subjective et probabilité axiomatique. Chacun se concentre sur des cas différents.

La probabilité classique englobe le cas dans lequel l'espace d'échantillonnage a un nombre fini d'éléments.

Dans ce cas, la probabilité qu'un événement A se produise sera le nombre d'alternatives disponibles pour obtenir le résultat souhaité (c'est-à-dire le nombre d'éléments dans l'ensemble A), divisé par le nombre d'éléments dans l'espace d'échantillonnage.

Ici, il faut considérer que tous les éléments de l'espace d'échantillonnage doivent être également probables (par exemple, en tant que donnée qui n'est pas altérée, dans laquelle la probabilité d'obtenir l'un des six nombres est la même).

Par exemple, quelle est la probabilité que lancer un dé obtienne un nombre impair? Dans ce cas, l'ensemble A serait composé de tous les nombres impairs entre 1 et 6, et l'espace échantillon serait composé de tous les nombres de 1 à 6. Ainsi, A a 3 éléments et l'espace échantillon a 6. Donc Par conséquent, P (A) = 3/6 = 1/2.

Quel est le principe additif?

Comme indiqué précédemment, la probabilité mesure la fréquence à laquelle un certain événement se produit. Pour pouvoir déterminer cette fréquence, il est important de savoir de combien de manières cet événement peut être réalisé. Le principe additif nous permet de faire ce calcul dans un cas particulier.

Le principe additif établit ce qui suit: Si A est un événement qui a «a» façons d'être exécuté, et B est un autre événement qui a «b» façons d'être exécuté, et si en plus seul A ou B peut se produire et pas les deux en même temps en même temps, alors les voies à réaliser A ou B (A deB) sont a + b.

En général, cela est indiqué pour l'union d'un nombre fini d'ensembles (supérieur ou égal à 2).

Exemples

Premier exemple

Si une librairie vend des livres sur la littérature, la biologie, la médecine, l'architecture et la chimie, dont 15 types différents de livres sur la littérature, 25 sur la biologie, 12 sur la médecine, 8 sur l'architecture et 10 sur la chimie, combien d'options une personne a-t-elle choisir un livre d'architecture ou un livre de biologie?

Le principe additif nous dit que le nombre d'options ou de façons de faire ce choix est de 8 + 25 = 33.

Ce principe peut également être appliqué dans le cas où un seul événement est impliqué, qui à son tour a différentes alternatives à réaliser.

Supposons que vous souhaitiez effectuer une certaine activité ou un certain événement A, et qu'il existe plusieurs alternatives, disons n.

À son tour, la première alternative a ₁ façons de faire, la deuxième alternative a ₂ façons de faire, et ainsi de suite, le nombre alternatif n peut être fait de _n façons.

Le principe additif stipule que l'événement A peut être exécuté de ₁ + à ₂ +… + de _n manières.

Deuxième exemple

Supposons qu'une personne veuille acheter une paire de chaussures. Lorsqu'il arrive au magasin de chaussures, il ne trouve que deux modèles différents de sa pointure.

Il existe deux couleurs disponibles de l'une et cinq couleurs disponibles de l'autre. De combien de façons cette personne doit-elle effectuer cet achat? Selon le principe additif, la réponse est 2 + 5 = 7.

Le principe additif doit être utilisé lorsque vous souhaitez calculer la manière d'exécuter un événement ou l'autre, pas les deux simultanément.

Pour calculer les différentes manières de réaliser un événement ensemble ("et") avec un autre - c'est-à-dire que les deux événements doivent se produire simultanément - le principe multiplicatif est utilisé.

Le principe additif peut également être interprété en termes de probabilité comme suit: la probabilité qu'un événement A ou un événement B se produise, qui est notée P (A∪B), sachant que A ne peut pas se produire simultanément à B, est donné par P (A∪B) = P (A) + P (B).

Troisième exemple

Quelle est la probabilité d'obtenir un 5 en lançant un dé ou des têtes en jetant une pièce?

Comme vu ci-dessus, en général, la probabilité d'obtenir un nombre quelconque lors du lancement d'un dé est de 1/6.

En particulier, la probabilité d'obtenir un 5 est également de 1/6. De même, la probabilité d'obtenir des têtes en jetant une pièce est de 1/2. Par conséquent, la réponse à la question précédente est P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Références

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